Нека f е обратима функция в опеделен интервал I .
Средно функционално на величините x1 и x2 от интервала I ще наричаме величината
Например, ако f е тъждествената функцията се получава средното аритметично.
При
f(x) = ln(x) f -1(x) = ex
се получава средно геометрично .
При
f(x) = 1/x f -1(x) = f(x)
се получава средно хармонично ?
При
се получава средно квадратично ?
Как ще изглежда ?
Ако се знае графиката на функцията y = f(x) как графично може да се намери обобщенното
средно функционално
Mf (x1 , x2 ) ?
Нека вертикалите през точки с абциси x1 и x2
пресичат графиката на y = f(x) в точки P и Q.
Тогава средата на PQ – точка S има координати
Означаваме ги съответно с x- и с y- .
Да прекараме хоризонтална права през S до пресичането с графиката в точка A.
Твърдим, че абцисата на точка A е търсеното средно функционално.
Да означим симетричната точка на S спрямо правата с уравнение y = x с S / .
През S/ да спуснем вертикална права, пресичеща графиката на
y = f -1(x) в точка A/ и абцисата в точка y - .
Дължината на отсечката y-A/ е равна на
Симетрична на вертикалната отсечка y -A/ е хоризонталната отсечката y -/A.
Следователно дължината на отсечката y -/A е равна на обобщенното
средно функционално M f (x1 , x2 ).
Но тя е равна на OM f.
се получава средно квадратично ?
?
