Какво трябва да знаем:
Числа
Формули за съкратено умножение
Зависимости в правоъгълния триъгълник
Средно аритметично, средно геометрично и неравенство между тях 		Към:
Математиката в училище

Средно хармонично


Определя се с равенството:        Средно хармонично - дефиниция Frm1
Питагор е определял трите средни така:
(a-b) : (b-c) = a : a – b е средно аритметично
(a-b) : (b-c) = a : b – b е средно геометрично
(a-b) : (b-c) = a : c – b е средно хармонично
Ще обосновем третото равенство:
Пропорции Frm2

Средното хармонично е по-малко от средното геометрично.
Неравенство между средното хормонично и средното геометрично Frm3

Съкращаваме на Радикал Frm4 и получаваме:       Неравенство Frm5
След повдигането на квадрат:       Неравенство Frm6

Така че между трите средни са изпълнени неравенствата:         Неравенство между трите средни Frm7

Съчетавайки средното аритметично и средното геометрично питагорейците са изразявали „музикалната пропорция”, която според легендата Питагор заимстванл от Вавилон. Ако 12 и 6 са крайните членове, които са в отношение 2:1 (те образуват октава), то средното аритметично – 9 образува с 12 кварта – отношение 4:3 а средното геометрично на 12 и 6 – 8 образува с 12 квинта – отношение 3:2. Цялата пропорция има вида 12, 9, 8, 6.

Правоъгълен триъгълник Dr1

Нека ABC е правоъгълен триъгълник с проекции на катетите върху хипотенузата a и b.
Средното хармонично на a и b е дължината на проекцията на височината CH върху медианата CM (CK).

Да означим ъгъла HCM с φ .
От правоъгълния триъгълник CHK получаваме CK=CH.cosφ.
От друга страна от правоъгълния триъгълник CHM         cos е прилежащия катет върху хипотенузата Frm8
Тогава:         cos е прилежащия катет върху хипотенузата Frm9
СССР Pict1


Какво ще научим:
Средно квадратично