Какво трябва да знаем:
Квадратни уравнения
Формули на Виет
Формули за съкратено умножение
Към:
Математиката в училище

Приложение на формулите на Виет

Задача 1
Дадено е уравнението 2x2 - 3x - 4 = 0 Изчислете изразите:

Решение:


После?
A
B
C
Използвайки формулата
,получаваме, че:

Задача 2
Дадено е уравнението 2x2 + 3x - 8 = 0
Изчислете изразите:
, където x1 e по-големият корен.
Решение:



После?


Знакът е + , защото x1 > x2 .

Задача 3
Съставете квадратно уравнение с корени x1 = 3/2 и x2 = -2.
Решение:
Изчисляваме:

Нека квадратното уравнение има вида: x2 + px + q = 0.
Тогава:

Уравнението придобива вида:

Да умножим двете страни по 2, за да се освободим от знаменателя:

В някои случаи формулите на Виет ни помагатда решим квадратно уравнение наум, ако сме налучкали един от корените му.
Задача 4
Решете наум квадратното уравнение 2x2 + 5x - 7 = 0

Решение: x = 1 е корен на квадратното уравнение, защото като заместим x с 1 получаваме: 2 + 5 - 7 = 0.
; x1 = 1.
Като заместим получаваме, че x2 = -7/2 .
Ако е дадено едно квадратно уравнение, първо трябва да проверим дали едно от чидлата 1 или -1 е корен на уравнението и
след това, по формулата на Виет x1.x2 = c/a да намерим другият корен.
Задача 5
Решете наум квадратното уравнение 2000x2 -2001x + 1 = 0
Решение: 1 е корен.

Друго приложение на формулите на Виет е определянето на положението на корените спрямо 0 на числовата ос.
Трябва да се има предвид, че е средната точка между точките x1 и x2 на числовата ос.

Освен това:
Ако x1.x2 е положително, то x1 и x2 са с еднакви знаци.
Ако е отрицателно - с различни (единият корен е положителен а другият е отрицателен).

Задача 6
За кои стойности на параметъра a квадратното уравнението а.x2 + 5x - 4 = 0 има два различни отрицателни корена?
Решение:
  1. За да бъде уравнението квадратно "a" трябва да е различно от нула.
  2. За да има два различни корена неговата дискриминанта трябва да е положителна:
  3. За да имат корените еднакви знаци тяхното произведение трябва да е положително:

    Но това не е достатъчно, защото корените могат да бъдат както положителни, така и отрицателни:

    Затова прибавяме условието:
  4. , защото желаем корените да са отрицателни.

Получаваме системата:

Решете я де!




Какво ще научим:
Графика на квадратната функция
Квадратни неравенства - пиша