Следвайки Гаус, казваме, че две цели числа a и b са сравними по модул естественото число m ако
тяхната разлика се дели на m.
Това се записва така a ≡ b ( mod m)
и се чете „ a е сравнимо с b по модул m”.
Например
57 ≡ 27 ( mod 10), защото разликата 57-27=30 се дели на 10.
Още 7 ≡ 19 ( mod 2), защото и двете са нечетни числа, разликата им е четно число, което се дели на две.
И още един пример с който се показва сравнимостта и при отрицателните числа:
-7 ≡ -19 ( mod 6) , защото разликата -7 - (-19) = -7+19 = 12 се дели на 6.
Кои са всички цели числа, които са сравними с 1 по модул 3 ?
{..., -5, -2, 1, 4, 7, 10,...}
Две числа са сравними по модул m когато дават един и същи остатък при деление на m.
По модул 3 целите числа се разделят на три вида:
които дават остатък 0 при деление на 3,
които дават остатък 1 при деление на три
и останалите, даващи остатък 2.
Пример за три числа от всеки вид са: 6 и 15 от първия вид, 4 и 10 от втория и 128, 2 и 5 от третия
Избройте безбройно многото числа от всеки вид.
Не пропускайте отрицателните числа !
Сравненията се наслаждават на следните три свойства
Третото свойство академикът проф. д-р Никола Орешков го е нарекъл „преносимост” в своята книга
„Теория на числата” – ДЪРЖАВНО ИЗДАТЕЛСТВО ”НАУКА И ИЗКУСТВО” София 1962 г.
Ето свойство 8) на сраненията от същата книга:
8) Ако модулът в няколко сравнения е един и същ, то върху тях можем да приложим действията събиране,
изваждане и умножение.
Доказателство:
Ще докажем третото свойство
Умножавайки двете равенства получаваме
където с P сме означили някакво цяло число.
Тогава разликата a1 a2 – b1b2 се дели на m,
което показва, че двете произведения дават един и същи остатък по модул m.
Множеството от числата, даващи един и същи остатък r при деление на m ще наричаме клас, сравним с r
по модул m и ще го означаваме с [r].
Например класът [2] по модул 4 се състои от числата {..., -6, -2, 2, 6, 10, 14,...}.
Ето ги и всичките четири класа:
където с P сме означили някакво цяло число.
