Какво трябва да знаем?

Косинусова синусова и теорема за сферичен триъгълник , изведени от свойствата на произведенията на вектори

Станчо Вълканов Павлов

Fg1

      Разглеждаме сфера с център O и радиус единица. Избираме три единечни вектора, приложени в точка O - e1 , e2 и e3 .
Големината на дъгата AB в радиани ще наричаме страна на сферичния триъгълник ABC. Подобни са и означенията за дъгите BC и CA - a и b.
      С a , b и c ( буквите са удебелени за разлика от тези за страните ) означаваме векторните произведения VctPr1 -Векторни произведения 1
Тези вектори са насочени към вътрешността на тетраедъра ABCO. Техните дължини са съответно sin1 Синус
      Означаваме още с α ъгълът между дъгите AB и AC от сферата, като под това разбираме ъгълът между техните допирателни, прекарани в точката A.
Този ъгъл наричаме сферичен. Подобни са и означенията за β и γ . α + β + γ е между π и 3π , както е доказано в предходна страница.

Косинусова теорема

Ъгълът α е допълнителния ъгъл между векторите b и c , което води до равенството: CosPrsn1 -Представяне на косинуса 1
Използвайки свойствата на смесеното и двойното векторно произведение получаваме:
VctPr2 -Векторни произведения 2

Отчитайки отрицателния знак извеждаме равенството: CosPrsn2 -Представяне на косинуса 2
Тогава CosTrm1 -Косинусова теорема 1, което е и косинусовата теорема за сферичен триъгълник.
    Ще разгледаме частни случаи.
Ако триъгълникът ABC е правоъгълен, с прав ъгъл при върха C то cos(γ )=0 и от CosTrm2 -Косинусова теорема 2 следва, че cos(c)= cos(a)cos(b). Това твърдение се нарича "Питагорова теорема" в сферичната геометрия, защото по дадени два катета може да се определи хипотенузата.
    Ще използваме реда на Маклорен за развитието на cos(a): Mclrn-Ред на Маклорен
Пренебрегвайки членовете от четвърта и по-висока степен получаваме, че за сферични триъгълници с малки страни е приблизително вярно равенството от Питагоровата теорема в равнината:
PitTr- Питагорова теорема в равнината
Ако γ е равно на π то , откъдето c = a + b.
Изроденият триъгълник в сферичната геометрия е двуъгълник, състоящ се от два големи полукръга с дължина π.

Синусова теорема

    Започваме от равенството SinPrsn1 -Представяне на синуса 1 От равенството за двойно векторно произведение и от представянето на обема V като смесено произведение получаваме: VctPr3 -Векторни произведения 3.
Така се получава равенството
SinPrsn2 -Представяне на синуса 2, откъдето     SinPrsn3 -Представяне на синуса 3.
Тогава SinTrm -Синусова теорема, което е и самата синусова теорема за сферични триъгълници.

Какво ще научим: