Какво трябва да знаем:
Множества и елементи на логиката
Алгебрични операции
Мултипликативна и адитивна група 		Съдържание на висша математика I част

Аксиоми на Булевата алгебра

Страницата е свободен превод от книгата
"Логика и булева алгебра" - Катлин и Хилберт Левитц


Булевата алгебра се нарича така в чест на английския математик Джорж Бул (1815 - 1864), който е използвал за първи път алгебрическите изчисления в математическата логика.
В изложението на тази алгебра не е добре да се използва символизма на логиката или на теорията на множествата защото те се явяват единствено като нейни частни случаи.
При доказателствата не трябва да се основаваме на представите си за операциите и смисъла на константите си а единствено на аксиомите ( постулатите ) и изведените от тях твърдения.
Нека на непразното множество Ω принадлежат елементите 0 и 1.
Нека в Ω е зададена унарна операция „допълнение”, означавана със символа “ ‘ ”.
Нека още в Ω са зададени две алгебрични бинарни операции “ v ” и “ ^ ”, наричани съответно `купа и ку`па, изпълняващи изброените по-долу аксиоми.
( Забележка:
Не трябва да се бъркат символите 0 и 1 със съответните числа.
Нито операциите със събиране и умножение или конюнкция и дизюнкция нито и с обединение и сечение.
Името на унарната операция е заимствано от теорията на множествата но то няма винаги същия смисъл както там.)

B1 Комутативни закони
За всеки два елемента a, b ∈ Ω е изпълнено:

a v b = b v a
a ^ b = b ^ a

B2 Асоциативни закони
За всеки три елемента a, b, c ∈ Ω е изпълнено:
a v (b v c) = (a v b) v c
a ^ (b ^ c) = (a ^ b) ^ c

B3 Диструбитивни закони
За всеки три елемента a, b, c ∈ Ω е изпълнено:
a v (b ^ c) = (a v b) ^ (a v c)
a ^ (b v c) = (a ^ b) v (a ^ c)

B4 Закони за неутралност
В Ω съществуват такива елементи 0 и 1
( наричат се неутрални по отношение на съответните операции),
такива че за всеки елемент a от Ω е изпълнено:
a v 0 = 0
a ^ 1 = a

B5 Закони за допълнението
За всеки елемент от Ω саществува елемент a’, също от Ω ,
наричан допълнение на a, такъв че:
a v a’ = 1
a ^ a’ = 0


Какво ще научим:
Теореми от Булевата алгебра