Какво трябва да знаем:
Аксиоми на Булевата алгебра 		Съдържание на висша математика I част

Теореми от Булевата алгебра

Страницата е свободен превод от книгата
"Логика и булева алгебра" - Катлин и Хилберт Левитц

Дуалност


Да предположим, че F е формула от Булевата алгебра.
Да променим формулата по следния начин:

а) заменяме операцията v с ^ и обратно
б) символа 0 го заменяме с 1

Получената формула се нарича дуална на F.
Ако разгледте внимателно аксиомите ще откриете че за всяка от тях,
дуалната формула е също аксиома.
Този факт има забележително следствие.
Ако една формула е доказана от аксиомите на Булевата алгебра,
то нейната дуална също може да се докаже.
Причината е че можете да замените всяка формула от доказателството с нейната дуална.
Този резултат се нарича принцип на дуалността.

Някои теореми от Булевата алгебра

Теорема 1 ( за единственост на неутралните елементи)

а) Във всяка Булева алгебра съществува единствен елемент със свойствата на елемента 0.
Или което е същото съществува единствен неутрален елемент по отношение на операцията v.
б) Във всяка Булева алгебра съществува единствен елемент със свойствата на елемента 1.
Или което е същото съществува единствен неутрален елемент по отношение на операцията ^.

Доказателство:

Да предположим, че има два неутрални елемента по отношение на операцията v 0 и 0*.
0 = 0 v 0* = 0* v 0 = 0.
Доказателството на б) е подобно на току-що приведеното.
Теорема 2 ( идемпотентни закони)
За всяка булева алгебра Ω и за всеки елемент от a нея
a v a = a
a ^ a = a

Доказателство:
a = a v 0 B4(Закон за неутралност)
= a v (a v a') B5 (Закон за допълнението )
= (a v a) ^ (a v a') B3 (дистрибутивен закон)
( a v a ) ^ l B5 (Закон за допълнението)
a v a B4 (Закон за неутралност)
Теорема 3 (закони за доминирането)
За всяка булева алгебра Ω и за всеки елемент a от нея:
a v 1 = 1
a ^ 0 = 0

Доказателство:
1 = a v a' B5 (Закон за допълнението )
= a v (a' ^ 1) B4 (Закон за неутралност )
= (a v a') ^ (a v 1 ) B3 ( Дистрибутивен закон)
= 1 ^ (a v 1 ) B5 (Закон за допълнението)
= (a v 1 ) ^ 1 B1 (Комутативен закон)
= a v 1 B4 (Неутралност)
Теорема 4 (закони за поглъщането ( абсорбцията ) )
За всяка булева алгебра Ω и за всеки два елемента a и b от нея:
a ^ (a v b) = a
a v (a ^ b) = a

Доказателство:
a ^ (a v b) = (a v b) ^ a B1 Комутативност
= (a v b ) ^ (a v 0) B4 Неутралност
= a v (b ^ 0) B2 Дистрибутивност
= a v 0 Т3 Закон за доминирането
= a B4 Неутралност
Теорема 5
Ако за елементите a, b и c от булевата алгебра Ω са изпълнени равенствата:
a v c = b v c и a ^ c = b ^ c то
a = b.

Доказателство:
a = a v (a ^ c) T4 Поглъщане
= a v (b ^ c) по условие
= (a v b) ^ (a v c) B3 Диструбитивност
= (a v b) ^ (b v c) по условие
= (b v a) ^ (b v c) B1 комутативност
= b v (a ^ c) B3 Диструбитивност
= b v (b ^ c) по условие
= b T4 поглъщане
Теорема 6
Ако за елементите a, b и c от булевата алгебра Ω са изпълнени равенствата:
a v c = b v c и a v c' = b v c' то
a = b.

Доказателство:
a = a v 0 B4 Неутралност
= a v (c ^ c') B5 Допълване
= (a v c) ^ (a v c') B3 Диструбитивност
= (b v c) ^ (b v c') по условие
b v (c ^ c') B3 Диструбитивност
= b v 0 B5 Допълване
= b B4 Неутралност
Теорема 7 ( единственост на допълнението)
Всеки елемент от булевата алгебра Ω има единствено допълнение.

Доказателство:
Нека a' и a* са допълнения на елемента a.
Тогава от B5 - закона на допълването, следва че:
a v a' = a v a* = 1
a ^ a' = a ^ a* = 0
От T5 следва равенството a' = a*.
Теорема 8 ( двойното допълнение)
(a')' = a.

Доказателство:
a v a' = 1 и a ^ a' = 0 B5 Допълване
Тогава a е допълнение на a'.
Но допълнениетто на a' се означава с (a')'.
От Т7 за единственост на допълнението следва че (a')' = a.