Какво трябва да знаем:
Аксиоми на Булевата алгебра |
Съдържание на висша математика I част |
Страницата е свободен превод от книгата
"Логика и булева алгебра" - Катлин и Хилберт Левитц
Теорема 1 ( за единственост на неутралните елементи)
а) Във всяка Булева алгебра съществува единствен елемент със свойствата на елемента 0. Или което е същото съществува единствен неутрален елемент по отношение на операцията v. б) Във всяка Булева алгебра съществува единствен елемент със свойствата на елемента 1. Или което е същото съществува единствен неутрален елемент по отношение на операцията ^. |
Да предположим, че има два неутрални елемента по отношение на операцията v 0 и 0*. 0 = 0 v 0* = 0* v 0 = 0. Доказателството на б) е подобно на току-що приведеното. |
Теорема 2 ( идемпотентни закони)
За всяка булева алгебра Ω и за всеки елемент от a нея a v a = a a ^ a = a |
a = a v 0 | B4(Закон за неутралност) |
= a v (a v a') | B5 (Закон за допълнението ) |
= (a v a) ^ (a v a') | B3 (дистрибутивен закон) |
( a v a ) ^ l | B5 (Закон за допълнението) |
a v a | B4 (Закон за неутралност) |
Теорема 3 (закони за доминирането)
За всяка булева алгебра Ω и за всеки елемент a от нея: a v 1 = 1 a ^ 0 = 0 |
1 = a v a' | B5 (Закон за допълнението ) |
= a v (a' ^ 1) | B4 (Закон за неутралност ) |
= (a v a') ^ (a v 1 ) | B3 ( Дистрибутивен закон) |
= 1 ^ (a v 1 ) | B5 (Закон за допълнението) |
= (a v 1 ) ^ 1 | B1 (Комутативен закон) |
= a v 1 | B4 (Неутралност) |
Теорема 4 (закони за поглъщането ( абсорбцията ) )
За всяка булева алгебра Ω и за всеки два елемента a и b от нея: a ^ (a v b) = a a v (a ^ b) = a |
a ^ (a v b) = (a v b) ^ a | B1 Комутативност |
= (a v b ) ^ (a v 0) | B4 Неутралност |
= a v (b ^ 0) | B2 Дистрибутивност |
= a v 0 | Т3 Закон за доминирането |
= a | B4 Неутралност |
Теорема 5
Ако за елементите a, b и c от булевата алгебра Ω са изпълнени равенствата: a v c = b v c и a ^ c = b ^ c то a = b. |
a = a v (a ^ c) | T4 Поглъщане |
= a v (b ^ c) | по условие |
= (a v b) ^ (a v c) | B3 Диструбитивност |
= (a v b) ^ (b v c) | по условие |
= (b v a) ^ (b v c) | B1 комутативност |
= b v (a ^ c) | B3 Диструбитивност |
= b v (b ^ c) | по условие |
= b | T4 поглъщане |
Теорема 6
Ако за елементите a, b и c от булевата алгебра Ω са изпълнени равенствата: a v c = b v c и a v c' = b v c' то a = b. |
a = a v 0 | B4 Неутралност |
= a v (c ^ c') | B5 Допълване |
= (a v c) ^ (a v c') | B3 Диструбитивност |
= (b v c) ^ (b v c') | по условие |
b v (c ^ c') | B3 Диструбитивност |
= b v 0 | B5 Допълване |
= b | B4 Неутралност |
Теорема 7 ( единственост на допълнението)
Всеки елемент от булевата алгебра Ω има единствено допълнение. |
Нека a' и a* са допълнения на елемента a. |
Тогава от B5 - закона на допълването, следва че: |
a v a' = a v a* = 1 |
a ^ a' = a ^ a* = 0 |
От T5 следва равенството a' = a*. |
Теорема 8 ( двойното допълнение)
(a')' = a. |
a v a' = 1 и a ^ a' = 0 B5 Допълване |
Тогава a е допълнение на a'. |
Но допълнениетто на a' се означава с (a')'. |
От Т7 за единственост на допълнението следва че (a')' = a. |