Алгебра

Какво трябва да знаем: Комплексни числа Числово поле
Векторно пространство Кватерниони или хиперкомплексни числа

Елемeнти на математиката
Научнопопулярно списание "Аз - Ижица"

Алгебра

Линейно пространство A над поле със зададено умножение на векторите от A при което се получава вектор.

Размерността на векторното пространство A над полето се нарича размерност на алгебрата.
Примери за алгебри са комплексните числа с размерност 2 , кватернионите с размерност 4 и матриците от n-ти ред с размерност n² .
За произведението ⊗ се изисква билинейност: билинейност на произведението -alg2

за всеки елемент λ от полето.

A се нарича алгебра с единица ако съществува елемент 1 от A , такъв, че за всеки елемент от A.
Векторното произведение на тримерни вектори е вектор, но е без единица.

A се нарича алгебра без делители на нула ако .

A се нарича алгебра с деление ако уравненията имат единствено решение спрямо неизвестното.

Ако умножението ⊗ е асоциативно алгебрата се нарича асоциативна.
Ако то е комутативно алгебрата A се нарича комутативна.

Ако съществува функция ( |.| ) от множеството A в множеството на реалните положителни числа, изпълняваща условието
алгебрата се нарича нормирана.
Ако за нормата на нормирана алгебра е изпълнено и тя се нарича композиционно нормирана.

Пример за асоциативна, комутативна и композиционно нормирана алгебра е множеството от комплексните числа, което може до се разглежда като векторно пространство над полето на реалните числа. Базис е (1, i) а нормата е модулът на комплексното число. Нормата в този случай е функцията

Но би могла да бъде и

Пример за норма при хиперкомплексните числа е функцията Норма при кватернионите -algNorm5

Какво ще научим?

Октаниони

Елемeнти на математиката
Научнопопулярно списание "Аз - Ижица"
Висша алгебра