Всяка функция
f : A → B
може да се ограничи така, че да стана обратима.
Това се извършва на следните три етапа.
В множеството A се отделя подмножество
Af , такова че всеки елемент от
Af да има образ в B .
Това множество се нарича дефиниционна област ( ДО ) на функцията
f .
От множеството
B се отделя подмножество –
Bf , такова че всеки елемент от него да има първообраз в
A .
Bf = {b / b ∈ B ∧ ∃ a ∈ A : f(a) = b}
Това множество се нарича множество ( област ) от значенията ( ОЗ )на f.
Сега вече функцията е дефинирана изцяло в
Af и е сюрективна в Bf .
Но за да стане функцията обратима е необходима да бъде и инективна.
Т.е. от равенството
f(a1) = f(a2) да следва, че
a1 и
a2 съвпадат.
Ако в Af има клас от елементи, които се изобразяват в един и същ
елемент на B ,
от този клас се отделя само един елемент.
Той се нарича представител на класа.
Функцията f се дефинира само върху представителите на съответните класове.
По този начин се променя както началното, така и крайното множество.
Променя се и самата функция. Новата функция ще означаваме отново с f, само че с чертичка над буквата .
Тази нова функция вече е обратима.
Дефиниционното множество на новата функция ще означаваме с
Af -удебелявайки а-то.
Това множество се състои от представителите на класовете, чиито елементи се изобразяват в един и същ елемент на
B .
Пример
Нека
A е множеството на рационалните числа -
Q а
B={0, 1, 2, 3} .
Функцията
f : A → B е дефинирана единствено за целите числа - Z .
f(0,5) не е дефинирана стойност, защото 0,5 не е цяло число.
Тогава дефиниционната област на
f -
Af е множеството от целите числа -
Z.
Множеството от значенията е множеството
Bf = {0, 1} .
В Af има два класа.
Първият от тях се състои от четните числа от
{0, ± 2, ± 4, ... }, изобразяващи се в 0 а другият - от нечетните
{ ± 1, ± 3, ± 5, ... }, изобразяващи се в 1.
От тези два класа избираме по един елемент - например 2 и 3.
Af = {2, 3} Bf = {0, 1}
Ако множествата
A и
B са числови множества, за да бъде функцията
f : A → B обратима,
трябва всяка хоризонтална линия да пресича нейната графика в не повече от една точка. ( не в две или повече).
Последователните действия за ограничаването на f са илюстрирани по-долу.
Начално – „необратимо” положение
Стъпки 1 и 2
Стъпка 3
