Какво трябва да знаем:
Операции с множества 		Елементи на ...
Съдържание на висша математика I част

Логически операции


Съждение ( предикат) се нарича твърдение, за което може да се каже дали е вярнo или невярно.
Твърденията се означават с малки латински букви.
Те могат да се разглеждат като променливи, които могат да заемат дали две стойности - 1 или 0 - истина или лъжа.
Питагор е считал, че нечетните числа символизират мъжкото начало а четните - женското.
Със съжденията могат да се извършват операции - конюнкция ( и , ∧ ) ; дизюнкция (или, ∨ ) ; отрицание (не, горна черта, ¬ ) ; импликация (следва, → , ⊃ ) и еднозначност (равносилно, еквивалентно, тогава и само тогава, ↔ , =, ≡ ).
Стойностите на резурезултата в зависимост от променливите се задават със следните таблици:

Конюнкция ∧

№ a b a∧b
1 0 0 0
2 0 1 0
3 1 0 0
4 1 1 1


Конюнкцията е вярна тогава и само тогава, когато и двете твърдения са верни.
Прозорливият читател веднага ще забележи аналогията с операцията сечение при множествата.

Дизюнкция ∨

№ a b a∨b
1 0 0 0
2 0 1 1
3 1 0 1
4 1 1 1


Обърнете внимание на последния ред.
Той, донякъде противоречи на обичайната употреба на съюза "или".
Например в израза "Или ще отида, или не."
Наблюдателният читател вече отдавна е забелязъл приликата на логическите операции с тези върху множества.

Отрицание ¬

№ a ¬a
1 0 1
2 1 0

Импликация →

№ a b a→b
1 0 0 1
2 0 1 1
3 1 0 0
4 1 1 1


Импликацията е невярна единствено, когато предпоставката е вярна а следствието -не.
В импликацията a→b променливата a се нарича "дадено" а b - "търсено".
Даденото се нарича още "предпоставка", "достатъчно условие" за b.
Търсеното се нарича още "следствие" и "необходимо условие" за a.

Равнозначност ↔

№ a b a↔b
1 0 0 1
2 0 1 0
3 1 0 0
4 1 1 1


Равнозначността е вярно съждение, тогава и само тогава, когато двете съждения имат еднакви верностни стойности.

Едно съждение се нарича тавтология, когато е вярно при произволни стойности на променливите, участващи в него.

Пример 1.

Покажете, че съждението: ( a ∧ (a→b) ) → b е тавтология.
Както при множествата, тавтологичността може да се докаже чрез таблица.
№ a b a → b a ∧ ( a → b ) ( a ∧ ( a → b ) ) → b
1 0 0 1 0 1
2 0 1 1 0 1
3 1 0 0 0 1
4 1 1 1 1 1

Пример 2.

Покажете, че съждението: (¬b → ¬a ) → ( a → b ) е тавтология.
№ a b ¬b ¬a ¬b → ¬a a → b (¬b → ¬a ) → ( a → b )
1 0 0 1 1 1 1 1
2 0 1 0 1 1 1 1
3 1 0 1 0 0 0 1
4 1 1 0 0 1 1 1

Пример 3.

Покажете, че съжденията:
a → a (рефлексивност)
( (a → b) ∧ (b → a) ) ↔ (a ↔ b) (антисиметричност)
( (a → b) ∧ (b → c) ) → (a → b) (транзитивност) са тавтологии.

Какво ще научим:         Правила за извод         Квантори за съществуване и единственост