Всяка ограничена редица притежава сходяща подредица
Доказателство: Нека е дадена ограничената редица
a1 , a2 , a3 . . .
Членът am ще наричаме "върхов", ако всички членове от редицата с по-голям
индекс от m са по-малки или равни от am .
am е "върхов" ⇔ (n ≥ m ⇒ an ≤ am)
Върховите членове на редицата са такива, отдясно на които, в естествената наредба, могат да се намират
(евентуално) само членовете
a1 , a2 , a3 . . . am-1
Различните върховите членове са или безкраен брой или са краен.
В първия случай за първи член на подредицата избираме върховото число
am1.
В дясно от него има само краен брой числа – членове на редицата.
Следователно ще има върхов член различен от am1,
разположен вляво от него.
Да го означим с am2 .
m2 > m1 .
Нека това е вторият член на подредицата.
Постъпвайки аналогично ще намерим монотонно намаляваща подредица на изходната,
която като ограничена ще е сходяща.
Да разгледаме втория случай - когато върховите членове са краен брой.
Нека amax е този, което има най-голям индекс.
Нека m1 > max .
Тогава am1 не е върхов и следователно ще съществува член от редицата с
по-голям индекс от m1, намиращ се отдясно на
am1 .
Да го означим с m2.
Продължавайки по този начин ще намерим монотонно растяща подредица на изходната, която като
ограничена ще е сходяща.
Портретите на Болцано и Вайерщрас мога да се видят
тук.