Нека ~ е релация на еквивалентност в множеството X.
Релацията ~ изпълнява условията
Тогава X се представя като обединение от непразни, пресичащи се подмножества Xi ,
такива че елементите във всяко от тях са в релация ~ помежду си.
Доказателство:
Да означим с [x] елементите от X, които са в релация с елемента x.
[x] е непразно защото x принадлежи на [x].
Това доказва и че за всяко x съществува y, такова ,че x принадлежи на [y].
Тогава обединението на класовете [x] е цялото множество X.
Да забележим още, че
Ако x~y и z е от [x], то z~x и z е от [y].
Аналогично следва, че [y] е подмножество на [x].
Обратно, ако [x]=[y] то x~y.
Ще докажем, че два класа [x] и [y] или съвпадат, или имат празно сечение.
Ако z е от [x] и [y] то:
Подмножеството [x] се нарича клас на еквивалентност на множеството X, породено то релацията на еквивалентност ~.
Различните, несъвпадащи класове на еквивалентност образуват ново множество, което се нарича фактор-множество на X,
породено от релацията на еквивалентност ~ и се означава с X/~.
