Лема на Казимир Куратовски и Макс Цорн

Лемата гласи:
Нека P е частично наредено множество.
Ако всяко линейно наредено подмножество T на P има горна граница, то в P съществува максимален елемент.
Тази, така наречена "лема на Цорн" е еквивалентна на аксиомата на избора, гласяща, че от всяко семейство от непразни множества може да се избере по един елемент.
И двете твърдения са еквивалентни на "аксиомата на трансфинитната индукция".
Нека P е частично, добре наредено множество.
Всяко добре наредено множество има минимален елемент, който ще означаваме с 0.
Принципът на транфинитната индукция гласи:
Нека P е добре наредено множество и T(x) е твърдение, отнасящо се за елементите на P, което може да е вярно или невярно за конкретен елемент x на P.
За твърдението T(x) са изпълнени следните две условия:

T(0) е вярно.
Ако T(α) е вярно за всяко α < β , то T(x) е вярно и за x = β.

Тогава T(x) е вярно за всеки елемент от P.
Какво ще научим?