z –преобразувание (z –трансформация)

Какво трябва да знаем:
Развитие на тригонометричните, експоненциалната и хиперболичните функции в степенни редове
Полагания в редовете Редове на Маклорен за елементарни функции – таблица Сметало за действия със степенни редове

Теория на вероятностите
Елементи

z –преобразувание (z –трансформация)

Нека е дадена крайна или безкрайна числова редица

Желаем да я представим като функция на променливата z.
Този процес на преобразувание на числова редица във функция се нарича z –преобразувание (трансформация).
Ще дефинираме z –преобразуванието с равенството: Pict_A_B1

A(z) се нарича образ на редицата A.
Да разгледаме няколко примера:

Пример 1
Ще намерим образите на редиците

От формулата за безкрайна геометрична прогресия получаваме:

Да диференцираме този ред:

Сега да намерим C(z) чрез интегриране:

Пример 2
Ако редицата B е получена от A чрез премахване на първия член на B то B(z)=A(z)-a₀ .

Пример 3
Ако са дадени две редици A и B и C е тяхна сума то C(z)=A(z)+B(z).
Ако B e е получена от A чрез умножение с число α то B(z)= αA(z).

Пример 4
Нека A и B са числови редици.
Операцията C=A*B дефинирана с PictCC1

се нарича конволюция на редиците A и B.

C(z)=A(z)B(z)

В последната сума първо сумираме по i а след това по n.
Да сменим реда на сумирането, като първо сумираме по n а след това по i.

Когато n се изменя от i до ∞ то n-i се изменя от 0 до ∞.
Да положим k := n-i.
PictC3

Какво ще научим:
Приложение на z –преобразуванията при решаване на диференчни уравнения
Приложение на z –преобразуванията в теорията на вероятностите

Теория на вероятностите
Елементи