Какво трябва да знаем?
z –преобразование (z –трансформация) или пораждаща функция
Станчо Вълканов Павлов Второ издание
Във важните дела трябва да се стараем не толкова да създаваме добри възможности,
колкото за това да не ги пропускаме.
Франсоа де Ларашфуко - Френски песател моралист. XVII в.
Нека е дадена крайна или безкрайна числова редица
Желаем да я представим като функция на променливата z.
Този процес на преобразувание на числова редица във функция се нарича z –преобразувание (трансформация).
z –преобразуванието се дефинира посредством равенството:
.
A(z) се нарича образ на редицата A.
Пример 1:
Ще намерим образите на редиците
?
Пример 2:
Ако редицата B е получена от A чрез премахване на първия член на B то B(z)=A(z)-a0 .
?
Пример 3:
Ако са дадени две редици A и B и C е тяхна сума то C(z)=A(z)+B(z).
Ако B e е получена от A чрез умножение с число α то B(z)= αA(z).
?
Пример 4:
Нека A и B са числови редици.
Операцията C=A*B дефинирана с
се нарича конволюция на редиците A и B.
За конволюцията на редиците A и B е изпълнено C(z)=A(z)B(z)
?
Пример 5:
Ще намерим пораждащата функция F(x) за редицата на Фибоначи, която се дефинира така:
f0 = 1, f1 = 1,
fn+1 = fn + fn-1 n>1.
?
Пример 6:
Исторически, пораждащата функция се появява при изследване на числова редица при която е известна рекурентна зависимост.
В предсоящия пример, който има връзка с числата на Каталан, ще тръгнем по обратния път:
По дадена пораждаща функция
ще намерим първите седем члена на числовата редица
C0, C1, C2, C3, …
, на която F(z) е пораждащата функция.
Числата Ci се наричат числа на Каталан.
За тях е изпълнена зависимостта:
.
Cn-2 е броят на начините, по които изпъкнал n-ъгълник може да се раздели на триъгъници.
?
Какво ще научим:
z –преобразувание (z –трансформация) или пораждаща функция - литература, връзки, отговори, доказателства
Какво трябва да знаем?
Назад
Ще намерим образите на редиците
От формулата за безкрайна геометрична прогресия получаваме:
Да диференцираме този ред:
Сега да намерим C(z) чрез интегриране:
Назад
Ако редицата B е получена от A чрез премахване на първия член на B то B(z)=A(z)-a0 .
Назад
Ако са дадени две редици A и B и C е тяхна сума то C(z)=A(z)+B(z).
Ако B e е получена от A чрез умножение с число α то B(z)= αA(z).
Подобно се доказва и другото твърдение.
Назад
Нека A и B са числови редици.
Операцията C=A*B, дефинирана с
се нарича конволюция на редиците A и B.
C(z)=A(z)B(z)
В последната сума първо сумираме по i а след това по n.
Да сменим реда на сумирането, като първо сумираме по n а след това по i.
Когато n се изменя от i до ∞ то n-i се изменя от 0 до ∞.
Да положим k := n-i.
Назад
Ще намерим пораждащата функция F(x) за редицата на Фибоначи, която се дефинира така:
f0 = 1, f1 = 1,
fn+1 = fn + fn-1 n>1.
Ще напишем първите няколко члена на тази редица в колона, използвайки рекурентната формула,
и ще умножим n-тото равенство по xn.
Събирайки тези произведения, ще получим уравнение, съдържащо F и z:
F=1+zF+z2F.
Ще решим това уравнение спрямо F:
Да предсавяме получената дроб във вид на елементарни дроби:
В последната формула z1 и z2 са корени на уравнението
z2 – z - 1 = 0:
От равенството z1z2 = -1 следва, че:
Назад
По дадена пораждаща функция
ще намерим първите седем члена на числовата редица
C0, C1, C2, C3, …
, на която F(z) е пораждащата функция
Числата Ci се наричат числа на Каталан.
За тях е изпълнена зависимостта:
.
Cn-2 е броят на начините, по които изпъкнал n-ъгълник може да се раздели на триъгъници.
При следващото изложение, ще считаме някои знания за известни, но не е зле да ги припомним сега, ако случайно са забравени.
Формулата
може да се обобщи.
Тя е вярна не само за естествени стойности на n но и за реални.
Това откритие дължим на Нютон.
Например:
Със символа n!!, където n е естествено число се означава произведението на естествените числа, които са по малки
от n и са от
същата четност.
Например 7!!=1.3.5.7 и 8!!=8.6.4.2.
Като използваме този символ, получаваме:
В сила е рекурентната зависимост:
Попълваме таблицата
и развиваме (1+x)1/2 в степенен ред:
Ето това вече е наистина Нютонов бином!
Замествайки получаваме:
Вече сме готови да получим първите числа на Каталан:
,
откъдето:
Казаме, че Cn-2 е броят на начините, по които изпъкнал n-ъгълник може да се раздели на триъгълници.
Това твърдение е изказано от Ойлер, в писмо до приятел, през 1751 г. В него е
посочена и общата формула за получаването на тези числа.
Там е била написана и формулата за пораждащата функция.
Доказателства не са дадени.
Числата, открити от Ойлер са изследвани подробно от белгийския математик Евгени Чарлс Каталан ( 1814-1894 г.) и са
назовани на неговото име.
Ще покажем хода на доказателството, че числото Cn-2 е равно на броят на начините,
по които изпъкнал n-ъгълник може да се раздели на триъгълници.
При n=3 твърдението е очевидно.
Ще обосновем верността на рекурентната зависимост
при n=8 , разглеждайки броят на разделянията ( триангулации) на осмоъгълник на триъгълници.
Фиксираме едната страна на осмоъгълника ( осветена на чертежа в синьо) и разглеждаме всички триъгълници с основа тази страна.
Тези триъгълници са осветени в червено. Умножаваме броят на триангулациите на многоъгълника от едната трана на червения
триъгълник по тези от другата. Да не забравяме, че триангулациите на n–ъгълника са Cn-2.
Събираме получените произведения:
C0C5 + C1C4 + C2C3 +
C3C2 + C4C1 + C5C0.
Назад
Литература
Давыдов Анатолий Васильевич, ЦИФРОВАЯ ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ, ТЕМАТИЧЕСКИЕ ЛЕКЦИИ
Тема 8. Z-преобразование сигналов и системных функций.
Назад
