Какво трябва да знаем:     Базис на векторно пространство  
Линейна обвивкана на система от вектори         Евклидово пространство   		Висша математика I част
Линейна алгебра

Ортогонализация на Грам-Шмид

Нека V е евклидово пространство с базис Неортогонален базис –a1
С Линейна обвивка-LinExp ще означаваме линейната обвивка на векторите -Неортогонален базис –a2
Ще намерим ортогонален базис на V - Ортогонален базис -e1 изпълняващ условието:
- Линейните обвивки на първите вектори от двета базиса съвпадат – e_a
Полагаме Първият вектор от E -e11
За е2 полагаме Вторият вектор от E е линейна комбинация на първия вектор от E и втория от A -e21 с неизвестен коефициент x21.
За да намерим x21 умножаваме двете страни на равенството скаларно с вектора е1 .
От ортогоналността на векторите е1 и е2 получаваме:       Намиране на коефициентите пред вектора от базиса E -e23
Постъпваме аналогично и за търсения трети вектор е3 :
Третият вектор от E е линейна комбинация на първите два от E и третия от A –e312
И изобщо ако вече са намерени е1, e2, ... , ek-1 , за търсения вектор ek полагаме:
-k-тия вектор от E е линейна комбинация на първите k-1 от E и k-тия от A –e123
Умножавайки последователно по -E е ортогонален базис -e4 получаваме: Намиране на коефициентите пред векторите от базиса E -ek
Така, последователно намираме ортогонален базис E, такъв че линейната обвивка на първите k негови вектора съвпада с тази на първите k вектора от базиса A.
Йорген Петерсон Грам - Датски математик (1850-1916)         Ерхард Шмид - Немски математик (1876-1959)

Какво ще научим:    
Матрица на Грам