Обобщена производна

Ако четем – пишем. Ако не пишем – не четем. Ако пишем – умуваме.

Какво трябва да знаем: Производна на сложна функция на повече променливи
Пълен ( тотален ) диференциал
Теорема за крайните нараствания за функции на повече променливи
Якобиан - преход от едни координати към други в равнината
Ред на Тейлор за функция на две променливи

Висша математика II част
Диференциална геометрия
Векторен анализ

Обобщена производна

Нека f е функция от R^m в Rⁿ . Обобщена функция Func1

С x ще означаваме вектор-стълба отляво Аргумент на функцията VectCol1

.
Тогава fⁱ (i = 1...m) е функция на x или fⁱ е функция на m променлви (x¹ , x² , x³ , ... , x^m ) .
Производна на функцията f спрямо x ще наричаме такъв обект -

за който е изпълнено Дефиниция Der1

като частното на дължините на векторите ε и Δx клони към 0. Lim1

e матрица от ред m x n , равна на якобиана Якобиан Jacob1

От формулата за крайните наратвания на функцията на m променливи, за fⁱ можем да напишем: Крайно нарастване ThFinalIncrease1

като остатъчният член ο(Δx) е безкрайно малък от по-висок порядък спрямо Δx.
ο(Δx) е вектор с размерност n.
Тогава записвайки нарастванията Δfⁱ като вектор-стълб получаваме равенството: ThFinalIncrease2

Нека x и y са функции на променливите ρ, ψ и φ : Sys1

Тези две равенства дефинират изображение f от R³ в R². Каква е неговата производна?

Как ще изглежда

? Вярно ли е ,че JacobMult1

Системата

е с три неизвестни.
Изразяваме ρ и φ чрез x и y, като на ψ гледаме като на константа. Sys2

Може да се разсъждава и по-общо.
Разглеждаме x и y като функции на самите себе си.
Тогава x и y са сложни функция на (x, y), опосредствено чрез променливите ρ , φ и ψ.
Използваме формулите за сложна функция за да изразим

, откъдето ще следва търсеното матрично равенство.

Аналогично се постъпва и за производните спрямо y.

Какво ще научим:
Сферични координати – якобиан Якобиани и действия с тях Градиент на скаларно произведение на две векторни пространства