За формулите в тази статия е използван пакетът „MathJax” - www.mathjax.org/
Да припомним, че операторът на Лаплас в декартови координати се дефинира така:
Δu = uxx + uyy .
Целта ни е да получим израза му в полярни координати
Ще използваме формулата
пояснена в статията
„Определяне на вторите производна на сложна функция на много променливи и матричните им означения”.
Да намерим производните на новите променливи спрямо x и y за да образуваме Якобиана.
Ето го!
Освен Якобиана се налага да определим и матрицата на вторите производни на новите променливи
ρ и φ спрямо старите x и y.
При това ще се стремим да използваме, по възможност, новите променливи ρ и φ, наред с x и y.
За да намерим матрицата на вторите производни спрямо новите променливи ρ и φ.
ще използваме равенството
Да изчислем в началото първото събираемо -
Да умножим първите две матрици.
Предполагаме равенство на смесените производни.
Резултатът да умножим с третата.
Понеже се интересуваме само от вторите производни uxx uyy, но не и от смесените,
които не участват в оператора на Лаплас, e дотатъчно да умножим първия ред на първата матрица по първия
стълб на втората и втория ред по втория стълб.
Сега да се занимаем с членовете, съдържащи първите производни.
Те се получават от произведението
Отново ще определим само диагоналните елементи. Действайте!
За вторите производни на u спрямо x и y получаваме:
Сега да съберем uxx и uyy.
Да заместим в уравнението на Лаплас и да се освободим от знаменателя.
Да се освободим от знаменателя, умножавайки по ρ2 .
пояснена в статията
