По страницата се работи!

Какво трябва да знаем?

Независими случайни величини - вариация и ковариация

Средната стойност на случайната величина X ще означаваме с E(X).
E(aX+b) = aE(X)+b .
Дисперсията на X тук ще означаваме с Var(X):

D(X) = Var(X) = E ( X - E(X) ) .
D(aX+b) = Var(aX+b) = a 2.Var(X) .
Случайната величина X-E(X) ще наричаме центрирана на X.
Нека са дадени две дискретни случайни величини – X и Y, заемащи стойности 0, 1, 2 ...
Стойностите им в доказателствата ще означаваме с x0 , x1 , x2 , ... и с y0 , y1 , y2 , ...
Нека P( (X = i) и (Y = j) ) е вероятността първата случайна величина да заеме стойност i а втората j.
Тази, съвместна вероятност ще означаваме с Pij .
Да означим с pi вероятността P( (X=i) ) а с qj вероятността P( (Y=j) ). pi и qj се наричат „маргинални” , което означава гранични.


Съвместни и маргинални вероятности-Pict11
Сума на граничните вероятности-SumPict1
Гранични вероятности-SumPict2

Маргинални вероятности
Условната вероятност случайната величина X да заеме стойност i при условие, че Y = j се задава с формулата Условна вероятност – Cond1
Двете величини X и Y ще наричаме независими ако Pij = pi* p*j или по-подробно:
X и Y са независими   ⇔   P(X=i и Y=j) = P(X=i).P(Y=j)   ⇔   Pij = pi* p*j
От случайните величини - X и Y можем да съставим други X+Y и X.Y. За тези, новите можем да потърсим средната стойност и дисперсията.
Средната стойност на X+Y е равна на сумата от средните стойности на X и на Y:     E(X+Y) = E(X)+E(Y)
В това твърдение не се изисква независимостта на случайните величини X и Y. ?
Ако двете случайни величини X и Y са независими то:     E(XY) = E(X).E(Y) .
?
Дисперсията на случайна величина е равна на нейната вариация.
Ковариация на случайните величини X и Y се нарича средната стойност на произведението на съответните им центрирани:
Cov(X , Y) = E[(X-E(X)).(Y-E(Y))] .
D(X)= Var(X)=Cov(X,X)

В сила е равенството:       Cov(X , Y) = E(X.Y) - E(X).E(Y) . ?
Ако двете случайни величини X и Y са независими то тяхната ковариация е нула.
?
Важно е да се отбележи, че обратното не е вярно.
Вариацията на сума на две случайни величини е равна на сумата от тяхните вариации и удвоената тяхна ковариация:
Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) + 2.Cov(X , Y) .
?
Ще докажем формулата       E(X) = E ( E (X/Y ) ) . ?
Литература:
1. Уйлям Фелър Увод в теорията на вероятностите и нейните приложения Издателство „Наука и изкуство” 1986 г.

Какво ще научим?