Какво трябва да знаем?

Еднофакторен диспесионен анализ с различен брой наблюдения - съдържание

Станчо Павлов

1 .Обща постановка

    При дисперсионния анализ се използва определена терминология , различна от тази при останалите тестове. Терминология, която ще се стараем да спазваме.     Генералната съвкупност е разделена на k групи по определен признак или фактор. Той може да бъде количествен (например продължителност на температурна обработка на детайл ) или качествен (обработка при режим А, Б или В). Този признак или фактор се нарича още независима променлива. Ако има само една независима променлива, както е в случая , дисперсионният анализ се нарича еднофакторен. В противен случай– многофакторен. Темата на тази глава е еднофакторния дисперсионен анализ с различен брой наблюдения в групите.
Разултатите от измерванията се нанасят в таблица като в една колона се разполагат измерванията от една група:

1 . Групи

    Наблюденията ( единицте ) от едно ниво на фактора ще наричаме група. Нека броят на наблюденията от j-тата група, от общо k групи е nj .

2. Модел

Mod1-Модел

    Издига се нулевата хипотеза - математическите очаквания на групите не зависят от факторите:
H01- Нулева хипотеза за равенството на всички средни.
Алтернативата е H1 : съществуват две групи с номера j1 и j2, такава, че HA1-неравенство на две средни.

3. Ред на провеждане на дисперсионния анализ


1 . Изчисляват се средните по групи 3XjMid1-Средното в j-тата група, както и общото средно.
2 . Определя се общата девиация:
SST2- Обща девиация или вариация .
Със "Сум.кв." сме означили сумата от квадратите на наблюденията а със "Сум." - просто тяхната сума
3. Девиациите по съответните групи:
DEVj1-Вариация в отделните групи.
Сумата от девиациите в групите се нарича вътрешно-групова девиация или "девиация вътре в групите " и отразява отклоненията на наблюденията от избрания модел.
Тя се нарича още сума на квадратите на отклоненията вътре в групите и се означава още с SSE (Error Sum of Squares ) .
4 . Междугруповата девиация е равна на:
SSTreatment1-Междугрупова вариация (девиация)
Общата девиация е равна на сумата е равна на сумата от междугруповата девиация и вътрешно груповата:
SSTEq1-Равенство свързващо трете вариации

5 . Определят се степените на свобода за всяка от трите девиации:

DFr-степени на свобода

6 . Изчисляват се дисперсиите – междугруповата и вътрешногруповата. Те са равни на съответните девиации, разделени на съответните степени на свобода:

Sigma1-оценки на дисперсиите

7 . Емпиричната статистика е отношението на междугруповата дисперсия към вътрешногруповата: Тази статистика има F - разпределение с N-1 и N-k степени на свобода, съответно в числителя и знаменателя. Критичните стойности на F- разпределението се определят от таблица на F-разпределението при дадено ниво на значимост α . Тези таблици (при различни стойности на α ) служат за проверка на нулевата хипотеза.

4. Таблица на дисперсионния анализ

DATable1-Таблица на дисперсионния анализ
    Избира се ниво на значимост α за отхвърляне на нулевата хипотеза, за равенство на средните стойности по групи: H011-Нулева хипотеза.     От таблицата на критичните стойности на F - разпределението се определя критичната стойност при съответните степени на свобода в числителя и знаменателя и деденото ниво на значимост α.     Нулевата хипотеза се отхвърля ако получената статитика е по-голяма от определената критична стойност fα ; k-1 ; N-k .     Ако статитиката F е по-малка от критичната стойност се прави извод, че данните не са достатъчни за отхвърляни на нулевата хипотеза за незначимост на фактора.

5. Пример

    Приведени са два примера. Първият от тях е нереален и той има за цел показването на числената процедура и проверка на различните формули за изчислямане на величивните, свързани с дисперсионния анализ при различен броя наблюдения.

Литература

[1] к. т. н. инж. Емил С. Божанов к. т. н. инж. Иван Н. Вучков ; Статистически методи за моделиране и оптимизиране на многофакторни обекти ; Държавно издателство "Техника" 1973 стр. 162
[2] Проф. д-р ик.н. Кирил Гатев, Доц. к. ик. н. Асен Спасов, Доц. к. ик. н. Димитър Радилов ; Обща теория на статистиката и икономическата статистика Държавно издателство "Наука и изкуство", София 1989 г.
[3] Дъглас Монтогомери Джордж Рунгер ; Приложна статистика и теория на вероятностите за инжинери Трето издание 2002 г.