Какво трябва да знаем?

χ2 - тест за дисперсията

Станчо Павлов

    Желаем да проверим дали дисперсията σ 2 на нормално разпределена генерална съвкупност е равна на определена стойност .     Нулевата хипотеза и нейната двустранна алтернатива са Нулева хипотеза-Frm1 . Нека е направена извадка с обем n.
    Тестовата статистика е: Статистика-- Stat1 , където Опитна дисперсия - Frm3 а Средна стойност -Mid1 е извадковото средно.
   Посочената статистика има хи-квадрат разпределение с n-1 степени на свобода.
Графика на разпределението-Gr1

    Да припомним, че средната стойност на хи-квадрат разпределението е n-1.
    Нулевата хипотеза се отхвърля, при предварително избрано ниво на значимост α , в полза на двустранната алтернатива, ако статистиката и извън интервала Интервал на неотхвърляне на нулевата хипотеза-Int1. В този случай критичната област е Критична област -Int2
   Ако алтернативата на нулевата хипотеза е едностранна: Едностранна хипотеза -Hipo1 критичната област е Критична област -Int3.
    А ако едностранната алтернатива е от вида Едностранна хипотеза - Hipo2 то критичната област е Лява критична област-Int4 .
    На долния чертеж са скицирани трите случая. Критични области-Gr2

Пример


    Дозировъчна машина отмерва количество течност за бутилиране с тегло един килограм, разбира се с известно отклонение. Счита се че максималното допустимо стандартно отклонение от средната стойност е 10 грама.
    Специалист по качеството е извършил експеримент от 20 замервания на напълненото количество течност. Резултатите от експеримента и част от междинните изчисления са отразени в долната таблица:
Таблица--Tbl1
Средното тегло и стандартното отклонение на дозираната течност са Оптни средна стойност и дисперсия -MidDisp1
    Издигаме нулевата хипотеза и нейната едностранна алтернатива: Едностранна хипотеза -Hipo1
    Изчисляваме статистиката по формулата: Статистика--Stat2
    Може ли при тези данни да се счита, че стандартното отклонение на теглото на дозираната течност надвишава 10 грама при ниво на значимост α=0,05? Определяме на критичната стойност при ниво на значимост α=0,05 при 19 степени на свобода. Критична стойност -CritVal1 Това може да направи от таблицата или от сметалото с адрес: "http://ek.roncho.net/Factory/HighMath3/Prob/Gamma/GammaFuncCalc.html":
Сметало -Calc1

    Поради това, че изчислената статитика е по-малка от критичната стойност нулевата хипотеза не може да бъде отхвърлена.
    p-стойността е равна на 1-0,82858=0,17151. Тя също е определена със сметалото:
Сметало -Calc2
p-стойността показва минималното ниво на значимост α, при която нулевата хипотеза би била отхвърлена.

    Изводи:

  1. Поради това, че средната стойност е значително по-голяма от 1 дозировъчната машина трябва да бъде регулирана.
  2. Разсейването от средната стойност е задоволително и то не би трябвало да се промени след регулацията.

Литература

[1] к. т. н. инж. Емил С. Божанов к. т. н. инж. Иван Н. Вучков ; Статистически методи за моделиране и оптимизиране на многофакторни обекти ; Държавно издателство "Техника" 1973 стр. 162
[2] Проф. д-р ик.н. Кирил Гатев, Доц. к. ик. н. Асен Спасов, Доц. к. ик. н. Димитър Радилов ; Обща теория на статистиката и икономическата статистика Държавно издателство "Наука и изкуство", София 1989 г.
[3] Дъглас Монтогомери, Джордж Рунгер; Приложна статистика и теория на вероятностите за инжинери. Трето издание 2002 г. стр. 362.