Какво трябва да знаем?

Статистически извод за средната величина на генералната съвкупност при малки извадки
t-тест

Станчо Павлов

Обща постановка

    Нека обемът на извадката е n и той е по-малък от 30 : n < 30. Тогава извадката се нарича "малка" .
    Нека μ е неизвестна средна стойност на случайна величина от генералната съвкупност, за която предполагаме, че е равна на μ0 .
    Нулевата хипотеза и нейната двустранна алтернатива са: Нулева хипотеза и нейната двустранна алтернатива-Hipo0. За генералната съвкупност те знаем нищо - нито средната стойност μ , нито дисперсията σ2 . Имаме само едно - предполагаемото μ0.
Статистиката е Статистика при t-теста-Stat1 където μ е средната статистика на генералната съвкупност, Средна стойност на извадката-Mid0 е средна стойност на извадката, а s е некоригираното стандартно отклонение: Некоригирано стандартно отклонение-StDev1   .       Статистиката Статистика при t-теста-Stat1 има t-разпределение с n-1 степени на свобода.
Условие за прилагане на теста е генералната съвкупност да е нормално разпределена с неизвестни средна стойност и дисперсия.

Нулева хипотеза Нулева хипотеза-Hipo1 и нейни алтернативи

    Нулевата хипотеза се изразява словесно така: "Генералната съвкупност има средно, равно на определена стойност".
    При ниво на значимост α е възможно нейното отхвърляне.
    Възможни алтернативи на нулевата хипотеза са три: Алтернативи-Alts1
    Условията за отхвърляне на H0 при трите възможни алтернативи са:
  1. Двустранна алтернатива Двустранна алтернатива-_2Side1 .     Област на приемане на алтернативата Доверителен интервал-CnfInt1 .
  2. Лява едностранна алтернатива Лява едностранна алтернатива-_1SideL.     Област на приемане на алтернативата Доверителен интервал- CnfInt2.
  3. Дясна едностранна алтернатива Дясна едностранна алтернатива-_1SideR.     Област на приемане на алтернативата Доверителен интервал- CnfInt3.

    Трите възможни алтернативи са начертани на долния чертеж.
t-тест-Gr1
Три възможни алтернативни хипотези при t-теста за средната стойност при малки извадки

Пример

    Ще определим 95 - процентвия доверителен интервал на налягането, необходимо за скъсване на кабел от определени сплав и сечение. Резултатите от проведения експеримент са посочени в таблицата.
Данни-Tbl1
Мерната единица е "паскал". 1 Pa = 1 N/m2 = 1 kg/(m.s2).
Определяме средното на извадката: Средно-Mid1
Изчисляваме и некоригираното средно отклонение на квадратите (некоригираното стандартно отклонение) по формулата: Некоригирано стандартно отклонение-s1
Определяме критичната стойност за двустранна алтернатива при α = 0,05 и брой на степените на свобода равен на 21: t0,025; 21 = 2,080 .
Доверителеният интервал е: Доверителен интервал- ExCnfInt1
В нашия случай Междинно изчисление- MidCalc1         Доверителен интервал- ExCnfInt2

Литература


[1] Красимир Калинов- практическа статистика за антрополози (t – тест стр.178)
[2] Л.М.Бутнер , М.Е. Позин Математические методы в химической технике Издательство "Химия" 1968 г.
[3] к. т. н. инж. Емил С. Божанов к. т. н. инж. Иван Н. Вучков ; Статистически методи за моделиране и оптимизиране на многофакторни обекти ; Държавно издателство "Техника" 1973 стр. 162
[4] Проф. д-р ик.н. Кирил Гатев, Доц. к. ик. н. Асен Спасов, Доц. к. ик. н. Димитър Радилов ; Обща теория на статистиката и икономическата статистика Държавно издателство "Наука и изкуство", София 1989 г.
[5]Дъглас Монтогомери Джордж Рунгер ; Приложна статистика и теория на вероятностите за инжинери Трето издание 2002г. стр. 354
[6] В. И. Романовский Элементарной курс математической статистики ; Госпланиздат 1939 г. стр. 191