Какво трябва да знаем?

Проверка за равенство на две дисперсии (критерий на Фишер) F-тест

Станчо Павлов

Обща постановка


    Критерият на Фишер проверява равенството на две дисперсии. Използва се при проверка за това дали дадена извадка е от определена генерална съвкупност. Ако генералната съвкупност е разделена на групи по отношение на един фактор чрез този критерий може да се съди за влиянието на фактора. Прилага се, в частност, за сравняване на точността на два вида измервания на една величина, при проверка на устойчивостта на технологични процеси и др.
    Нулевата хипотеза е Хипотеза и нейната алтернатива-Hipo01.
    Статистиката е частното на двете оценки на дисперсиите: Статистика-Stat1
При определянето на статистиката F в числителя се поставя оценката на по-голямата дисперсия, а в знаменателя - на по-малката.
Опитни дисперсии-ExpDisp1 са оценки на дисперсията от първата извадка с обем n1 и на втората с обем n2 .
Изчисляване на опитните дисперсии-Disp1
Опитни средни стойности- -ExpMid1 са средните от двете наблюдения, а Наблюдавани стойности-ExpVals1 са наблюдаваните стойности.
    Теоретична обосновка на критерия: статистиката F- статистика-Stats0 има F- разпределение с n1 -1 степени на свобода в числителя и n2 -1 степени на свобода в знаменателя: F- разпределение-FDistr1 От таблицата на F разпределението, при съответните степени на свобода, при дадено ниво на значимост α, се определя критичната стойност Критична стойност -CritVal и тя се сравнява с изчислената статистика F.   Ако Условие за отхвърляне на нулевата хипотеза-Cnd1 нулевата хипотеза H0 се отхвърля. В противен случай нямаме основание за нейното отхвърляне.
    Необходимо е да се припомни равенството Свойство на F- разпределението- FProp1 .
    Доверителеният интервал за отношението на дисперсиите е: Свойство на F- разпределението- FProp2. Тази еквивалентност се изпълнява при условие, че нулевата хипотеза е вярна. В частност, ако се проверява хипотеза за равенство на дисперсиите получаваме доверителния интервал: Свойство на F- разпределението-FProp3

Пример

    Извършени са измервания по два метода за съдържанието на хлор, в проценти, на една и съща проба от полимер. Резултатите са отразени в лявата таблица. Изваждането на константа не променя дисперсията. За облекчаване на изчисленията, от показанията при първия метод ще извадим 27% а от втория 20%. Така са получени стойностите в дясната таблица.
Таблица с данни-Tbl1
За по-нататъшните изчисления е необходимо да пресметнем сумата от стойностите и сумата от техните квадрати за показанията от двата метода.
Суми и суми от квадратите-Sms1
    Изчисляваме средната стойност за двете извадки по формулата Средна стойност-Mid1.
За първата извадка получаваме Средна стойност-Mid2
Подобно получаваме и средната стойност за втората извадка: Средна стойност-Mid3
    Опитната дисперсия се определя чрез една от формулите: Формули за оценката на дисперсията-FrmDisp
    Ще използваме втората. За двете извадки получаваме, съответно: Оценка на дисперсията-DEst1
Таблица-Tbl2

    Изчисляваме статистиката: Статистика-Stat2
    Степените на свобода и за двете дисперсии се определят по фолмулата: ст.св.=n-1. В този пример те са 5-1=4 за първата дисперсия и 8-1=7 за втората.
    Проверяваме нулевата хипотеза за липса на разлика при двата метода на измерване A и B, като избираме ниво на значимост α = 0,05.
    От таблица за f -разпределението определяме критичната стойност f0,05;7;4=6,09. Поради това, че статистиката е по-малка от определената критична тойност, формулираме статистическия извод:
Данните не ни позволяват да отхвърлим нулевата хипотеза при даденото ниво на значимост α = 0,05.

Литература

[1] Л.М.Бутнер , М.Е. Позин Математические методы в химической технике Издательство "Химия" 1968 г.
[2] к. т. н. инж. Емил С. Божанов к. т. н. инж. Иван Н. Вучков ; Статистически методи за моделиране и оптимизиране на многофакторни обекти ; Държавно издателство "Техника" 1973 стр. 162
[3] Проф. д-р ик.н. Кирил Гатев, Доц. к. ик. н. Асен Спасов, Доц. к. ик. н. Димитър Радилов ; Обща теория на статистиката и икономическата статистика Държавно издателство "Наука и изкуство", София 1989 г.
[4] Дъглас Монтогомери, Джордж Рунгер; Приложна статистика и теория на вероятностите за инжинери. Трето издание 2002 г. стр. 362.