Какво трябва да знаем?
Разлагане на крайна и абелева p-група в директна сума
В рамките на тази страница, предполагаме, че p е просто число.
p- група се нарича тази група, на която редовете на нейните елементи са степени на простото число p .
Теорема
Нека G е крайна абелева p -група, в която редът на елемента g е най-голям от всички възможни редове на елементите на групата G.
Тогава групата G или е циклична или се представя като директна сума на цикличната група <g> и друго събираемо H:
G=<g>ÅH.
Доказателство:
При доказателството, както е прието при абелевите групи, ще използваме адитивния запис.
Нека редът на G е равен на pn .
Тогава редът на всеки елемент на G е делител на pn.
Ще приложим индукция по n.
При n=1 групата G е циклична с образуващ елемент g.
Нека твърдението е вярно за 1 ≤ k < n и нека редът на G да е равен на pn.
Да предположим, че редът на g е равен на pm.
Ако G=<g> няма какво да доказваме.
Нека h ∈ G\<g> и има минимален ред в G .
ph принадлежи на <g>.
?
Ако k е взаимно просто с p то kh не принадлежи на <g>.
?
Ще докажем, че редът на h е равен на p.
?
Да означим с H подгрупата на G, породена от h: H=<h>. H∩<g>={0}.
Ще разгледаме фактор-групата G/H.
Редът g+H във фактор-групата G/H е равен на реда на g.
?
Редът на G/H е по-малък от този на G и по индукционното допускане
G/H или е циклична или се представя като директна сума на цикличната група <g+H> и друго събираемо K/H.
В първия случай G=<g> ÅH и теоремата е доказана.
Във втория случай G/H се разлага в директна сума: G/H = <g+H> ÅK/H,
където K е подгрупа на G, съдържаща H.
Сечението K∩<g>={0}.
?
Следователно G=<g>+K и K∩<g>={0}.
Тогава G = <g> ÅK.
Какво ще научим?