Какво трябва да знаем?
Уравнение на класовете
Нека X е крайно G-множество и XG е множеството от неподвижни точки на X.
Понеже орбитите разделят множеството X на непресичащи се части, то
,
където са xi са представители в различните, неединични орбити на X.
Сега да разгледаме специалния случай, когато G действа на себе си чрез спрягане.
Центърът на G:
е множеството от точки, които са неподвижни при спрягане.
Централизаторът на елемента x от групата G се определя с: C( x ) = {g / g ∈ G и gx = xg }.
Централизаторите образуват подгрупи в G.
Орбитите, които имат повече от един елемент при спрягане се наричат спрегнати класове.
,
C( xi ) е централизаторът на xi .
Това равенство се нарича уравнение на класовете.
Негово следствие е, че броят на елементите във всеки спрегнат клас е делител на реда на групата.
Пример 1
Да разгледаме симетричната група S3 .
В долната таблица са нанесени нейните елементи, обратните им и техните означения.
| s |
e | a=(123) | b=(132) | x=(12) | y=(13) | z=(23) |
| s-1 |
e | b=(132) | a=(123) | x=(12) | y=(13) | z=(23) |
Лесно се проверява, че има три спрегнати класа и те са
{e}, { (123), (132) }, { (12), (13), (23) }.
Уравнението на класовете е 6=1+2+3.
Пример 2
Диедралната група D4 има два образуващи елемента.
Единият - ρ има ред 4 а другият - s ред 2 като
като образуващото отношение е sρs=ρ-1=ρ3 .
Тази група може да се представи като подгрупа на симетричната група S4 .
ρ = (1234) s = (13) .
Елементите на са: D4 = { e, (13), (24), (13)(24), (12) (34), (14) (23), (1234), (1432) }
Спрегнатите класове на D4 са:
{ e }, { (1 3)(2 4) }, { (1 3), (2 4) }, { (1 2)(3 4), (1 4)(2 3) }, { (1 2 3 4), (1 4 2 3) } .
Уравнението на класовете е 8 = 1+1+2+2+2.
Какво ще научим?