Ред на елемент g от групата G се нарича броят на елементите на цикличната подгрупа, породена от g.
Означава се с |g| .
Ред на групата G се нарича броят на нейните елементи. Означава се с |G| .
Казваме, че G е без усукване, ако всеки неин, ненулев елемент има безкраен ред.
Ако всички нейни елементи имат краен ред групата се нарича периодична.
Група, притежаваща елементи от краен и безкраен порядък се нарича смесена.
Еко редовете на елементите в една периодична група са ограничени в съвкупност, тяхното най-малко общо кратно се
нарича период или показател на групата.
Нека p е просто число.
Периодична група, редът на елементите на която са степени на p се нарича p-група.
Групите, които са p групи за някое p се наричат примарни.
Циклични групи Cn и техните подгрупи
Да разгледаме адитивната група Z6 на събирането на в целите числа по модул 6 от ред 6.
Тя е циклична с пораждащ елемент 1.
Ще потроим таблица на събирането в Z6– таблица на Кели.
( Артур Кели – английски математик 16 август 1821, Ричмонд - 26 януари 1895 )
| + |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
| 0 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 0 |
| 2 | 2 | 3 | 4 | 5 | 0 | 1 |
| 3 | 3 | 4 | 5 | 0 | 1 | 2 |
| 4 | 4 | 5 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| 5 | 5 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
Нейни подгрупи са A={0,2,4} и B={0,3} с редове 3 и 2 , които са делители на 6.
A и B са циклични с пораждащи елементи 2 и 3.
Индексите им са съответно 2 и 3.
A има и друг пораждащ елемент - 4.
Съседните класове на A са:
A={0,2,4} и 1+A={1,3,5}
а на B са:
B = {0,3} и 1+B={1,4} и 2+B={2,5}.
Понеже Z6 е комутативна, всички нейни подгрупи са нормални делители.