Симетрична Sn и алтернативна група An
Симетричната група е групата на взаимноеднозначните съответствия на множеството
Zn = {1, 2, …, n} в самото себе си.
Тези съответствия се наричат пермутации или размествания.
Препоръчваме да се запознаете със татията
Пермутации
Цикъл
ck = ( i0 i1 i2 i3 … ik-1 )
е елемент от Sn при който i0 се изобразява в
i1 , i1 се изобразява в i2 и т.н. последният елемент
ik-1 се изобразява i0 .
Числото k ( 2 ≤ k ≤ n ) се нарича дължина на цикъла ck .
Елементите на цикъла ck са различни елементи от Zn .
Независими цикли се наричат се наричат тези, които нямат общи елементи.
Ясно е че при умножаване на два независими цикъла те могат да се разместват. Т.е. те комутират помежду си.
Елементите на Sn се представят като произведение от независими цикли
Например разместването
се предтавя като произведение от независими цикли така:
Най-малката възможна дължина на един цикъл е 2. Такива цикли се наричат транспозиции.
Транспозицията (i j) премества числото i в числото j,
числото j в числото i и оставя всички останали числа на място.
Всеки цикъл с дължина n се разлага в произведение от транспозиции:
Всяко разместване се представя като произведение на транспозиции.
Но това представяне, в общия случай, не е еднозначно.
Например:
Горните две формули изразяват, както лесно се вижда, един и същи факт но в различни означения.
Но все пак нещо се запазва!
При всевъзможните представяния на едно разместване като произведение на транспозиции
четността на техният брой ще бъде една и съща.
Едно разместване от Sn се нарича четно ако то се разлага на четен брой транспозиции и нечетно в противоположния случай.
Четността на разместването не зависи от начина, по който то е представено като произведения транспозиции. Тъждественото разместване е четно.
Всяка транспозиция, или въобще цикъл с четна дължина е нечетно разместване а всеки цикъл с нечетна дължина ( в частност с дължина 3) е нечетно.
Ако
то
,
откъдето следва че:
Обратното на четно разместване е също четно а обратното на нечетно разместване е нечетно.
По-нататък, ако
и
то
Поради това:
Произведението на две четни или две нечетни размествания е четно разместване;
произведението на четно и нечетно разместване е нечетно разместване.
Оттук следва, че съвкупността на всички четни размествания (от даден ред n ) образуват подгрупа на Sn .
Тази подгрупа се означава с An и се нарича знакопроменлива.
Понеже за всяко четно разместване a и всяко разместване b произведението ba-1b е четно разместване, то знакопроменливата група An е нормален делител на симетричната група Sn .
Понеже за всеки две нечетни размествания a и b разместването ab-1 е четно , т.е. принадлежи на групата
An , то всички нечетни размествания образуват един съседен клас по подгрупата An .
Следователно фактор групата Sn / An се състои само от 2 елемента, т.е. има порядък 2.
Затова:
Редът на знакопроменливата група An т.е. броят на четните размествания от ред n е равен на
.
Литература
Михаил Михайлович Постников - Теория Галоа
Государственное издательство Физико-математической литературы Москва 1963