Цели p-адически числа

Разглеждаме безкрайна редица от остатъци по модул p- просто число, записвана отдясно наляво. Тази редица може да бъде както безкрайна непериодична, така и безкрайна периодична, така и крайна. В последния случай ще считаме че отляво крайната редица е допълнена с нули. Можеството на целите p-адически числа се означава със p-адически числа -Z_p. ( Да не се бърка, както често става, със Zp което е множеството от остатъци при деление на p! ).
Ето три примера на три различни 3-адически числа от посочените три вида:
α = ….1 202 111 021 220
β = ….1 111 111 111 211
γ = ….0 000 000 000 120
Събирането се извършва както обикновеното писменно събиране, само че отдясно – наляво. В нашите училища то се изучава в трети клас, за разлика от американските, но ние ще ги достигнем и в това отношение.
Да не забравяме, че в 3-ична бройна система 1+2 = 3, което се представя като 10 – 0 и 1 наум. И 2 + 2 = 4, което се представя като 10 – 1 и 1 наум.
α= .....1202111021220
β= .....1111111111211
α+β=.....0120222210201
Множеството на целите числа естетвено се влага в това на 3-адическите числа. За нула приемаме в това събиране число, всички цифри на което се състоят само от нули. Ето пример за сума на на две 3-адически числа, чията сума е нула:
α= .....1202111021220
-α= .....1020111201010
α-α=.....0000000000000
Така че може да говорим за противоположни числа в p-адически числа -Z_p. Противоположните числа на безкрайните, непериодични елементи от p-адически числа -Z_p са също такива. Противоположните числа на крайните елементи от на крайни числа са безкрайни периодични. Елементите от p-адически числа -Z_p. могат и да се умножават.
Изискването p да е просто число е поради това, в p-адически числа -Z_p. да няма делители на нула.
p-адическите числа са открити от немския математик Курт Хензел през 1897 г.
Литература
3-Й. Боревич, И.Р. Шафаревич         ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ         Москва Наука. Главная редакция физико-математической литературы.— 1985.— 504 с, 3-е изд.доп.