Какво трябва да знаем?

Действие на група върху множество

Нека S е множество, чиито елементи ще означаваме с големи латински букви. S={A, B, C, ..., X, Y, ...}
Нека още G е група и за всеки неин елемент g се задава изображение g:S→ S.
  1. За всеки елемент X от S и за единичния елемент e от G е изпълнено e(X)=X
  2. За всеки два елемента от g и h за всяко X от S е изпълнено (gh)(X) = g(h(X))
Второто условие се нарича условие за съгласуваност.
От него следва, че изображението, което задава g в S е взаимно-еднозначно.
Множеството S се нарича G-множество.
Дефинираме в G множество, което остава конкретен елемент на място.
Стабилизатор на елемент от G-множество ST_X
Множеството St(X) се нарича стабилизатор на X, при действието на групата G.
Стабилизаторът на X от S е подгрупа на G: St(X) < G. ?
Множество от неподвижните елементи при действието на елемента g от G се нарича това подмножество на S, което се състои от тези X, за които g(X)=X.
Означава се с Sg .
Неподвижни елементи –S_g
Дефинираме отношението A~B в S, като A~B тогава и само тогава, когато съществува елемент g от G, за който B=g(A).
Отношението ~ е отношение на еквивалентност. ?
Орбита на елемента A се нарича това подмножество на S, за всеки елемент B от което съществува елемент g от G такъв, че g(A)=B.
Т. е. орбитата на A се състои от тези елементи B, за които A~B.
Орбитата на елемента A от S ще означаваме с A с чертичка отгоре.
Орбитата на A се означава и с OA .
Да разгледаме групата G от пермутации от шести ред подгрупа на симитричната група S6 :
G = { e, (12)(3456), (35)(46), (12)(3654) }.
Групата G е от четвърти ред.
Множеството, върху която тази група действа е множеството S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Стабилизаторите на отделните елементи са
St(1) = St(2) = {e, (35)(46)}
St(3) = St(4) = St(5) = St(6) = {e}
а орбитите са:
O(1) = O(2) = {1, 2} и
O(3) = O(4) = O(5) = O(6) = {3, 4, 5 , 6 }.
Броят на елементите от орбитата на A е равен на индекса на стабилизатора на A.
Дължина на орбита--Orbit1 ?

Примери

Пример 1 Ляво умножение

Нека S=G. Действието на g върху x от G ще определим като умножение отляво: g(x):=gx
Тогава стабилизаторът на всеки елемент x от G е равен на e защото от gx=x следва, че g = e.

Пример 2 Спрягане

Нека отново S=G.
Дефинираме действието на G върху S=G така: на всеки елемент x от G се съпоставя y така, че y = g-1xg . g(x)=:g-1xg
g(x) се означава с xg , при което е в сила: (xg)h = xgh. ?
Стабилизаторът на x се състои от тези елементи на G, които комутират с x.
При това действие е в сила g(x)=x ⇔ g-1xg=x ⇔ xg=gx
Множеството от тези елементи на G, които комутират с елемента x се наричат централизатор на x в G .
Това множество се означава със CG(x) или накратко със C(x) .
Орбитата на елемента x се състои от елементите g-1xg , където g е произволен елемент от G.
Тези елементи се наричат спрегнати на x.

Пример 3 Действие върху леви съседни класове

Да разгледаме множеството от левите съседни класове на групата G спрямо нейната подгрупа H.
На това множество ще дефинираме действието на g чрез ляво умножение g1(gH) = (g1g) H. g1 : gH → (g1g) H е действие на G върху множеството от левите съседни класове. ?
Да си зададем въпроса: Кой е стабилизатора на H при това действие?
За да остава съседния клас gH неподвижен при действието на елемента g1 от G е необходимо да е изпълнено g1gH=gH , което е еквивалентно на g1 = gHg-1 .
Тогава g1 принадлежи на групата gHg-1 , която е спрегната на H.

Пример 4 Действие върху набор от елементи на циклична група от ред p

Да разгледаме набор от p елемента на групата G, чието произведение е равно на единицата в G.
Нека S е множеството от такива набори.
Нека още P е групата, породена от елемента a на симетричната група от Sp , който изпраща последният елемент в редицата (123…p) на първо място.
Последният елемент отива на първо място--Ex3a
Тогава групата P действа върху множеството S. Орбитите на кои елементи от S съдържат само един набор? ?
Какво ще научим?