Какво трябва да знаем?
Подгрупи
Съседни класове на група спрямо нейна подгрупа ( фактор-множества)
Теорема на Лагранж за групи
Подгрупа на групата G се нарича подмножество H на G , което съдържа единичния елемент,
съдържа обратния на всеки свой елемент и е затворено спрямо умножението в G.
a Î H Þ a-1 Î H.
a ÎH Ù b Î H Þ ab Î H.
{e} и самата G са подгрупи на G.
Те се наричат неистински , несобствени или тривиални.
Обстоятелството, че H е подгрупа на G ще означаваме с H<G.
Ако P и Q са подгрупи на G то и тяхното сечение PÇQ е също подгрупа на G.
?
Нека H е подгрупа на G. Нека още g е елемент на G.
Под съседен клас на H ще разбираме множеството gH={gh/ hÎH}.
По-точно gH се нарича "десен съседен клас".
Да отбележим, че ако hÎH то hH=H.
В един клас не може да има два съвпадащи елемента: |H| = |gH|.
?
Аналогично се дефинират и левите съседни класове Hg.
Разглеждаме релацията ~ в G дефинирана с: g1 ~ g2
Û $ hÎH:
g1 = g2h .
~ е релация на еквивалентност в G.
?
Тогава множеството G се разделя на непресичащи се класове еквивалентност, съдържащи еднакъв брой членове.
Следователно, ако H и G са крайни групи, то редът на H е делител на реда на G: |H|/|G| (/ тук означава "дели" ).
Това твърдение се нарича " Теорема на Лагранж за групи".
Частното |G|:|H| се нарича индекс на подгрупата H и се означава с [G:H].
Два леви съседни класа g1H и g2H съвпадат тогава и само тогава, когато
g1 = g2h за някой елемент h от H.
Да вземем един елемент от g и да образуваме множеството от неговите степени gn .
Това множество образува подгрупа на G и се нарича циклична подгрупа,
породена от елемента g означава се с <g>.
Редът на тази подгрупа се нарича ред на елемента g и се означава с |g|.
Една група се нарича циклична ако съвпада с една от своите циклични подгрупи.
Сечението на всички подгрупи на G, съдържащи подмножеството H на G се нарича подгрупа,
породена от множеството H и се означава с <H>.
Да разгледаме адитивната, абелева група на остатъците при деление на 8.
Сумата на два такива остатъка се замества с нейния остатък по mod 8.
Тази група се означава с Z8 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.
Ето я нейната таблица на събиране:
| + |
0 | 1 | 2 |
3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 0 |
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 1 |
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 0 |
| 2 |
2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 0 | 1 |
| 3 |
3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 0 | 1 | 2 |
| 4 |
4 | 5 | 6 | 7 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| 5 |
5 | 6 | 7 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 6 |
6 | 7 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 7 |
7 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
Ако всеки ляв съседен клас на H е равен на съответния му десен
( gH=Hg за " gÎG ) H се нарича нормален делител на G.
Тук равенството gH=Hg се разбира като равенство на множества .
Означението на това, че H е нормален делител на G е HDG.
Пример
Неособените, квадратни матрици от ред n над полето на реалните числа образуват група спрямо умножението на матрици.
Тази група се нарича обща линейна група и се означава с GLn(R).
Множеството от диагонални матрици Dn , по главния диагонал на които е разположено различно от нула число d а
останалите места са заети от нули образува подгрупа на GLn(R).
Такава диагонална матрица ще означаваме с (d).
Dn е нормален делител на GLn(R).
?
Ако G е абелева, всяка подгрупа на G е неин нормален делител.
Нека F и H са подгрупи на G. Да означим тяхното сечение с E. Тогава |F|.[H:E]= |H|.[F:E] .
?
Какво ще научим?