Теорема на Коши

Тази теоремата се отнася до теорията на групите. Да не се бърка с другата!
Тя твърди, че ако G е крайна група и p е просто число, делител на реда на групата G - |G| (броят на елементите на G ) то в G има елемент от ред p. Т.е. има елемент x от G, такъв, че x^p = e , където e е единичния елемент и p е най-малкото естествено число с това свойство.

Твърдение

Теорема: Нека G е крайна група и p е просто число. Ако p е делител на реда на групата G то G притежава елемент от ред p.

Първо доказателство

Първо ще докажем твърдението случай, че G е абелева.
Доказателството извършваме по индукция по |G| -реда на групата G.
Ако |G|=p то всеки неединичен елемент от G има ред p.
Нека a е неединичен елемент от G и нека H е цикличната група, породена от a.
Тя се означава с < a > .
Ако p дели |H| то a^|H|/p е елемент от ред p. ( или по индукционното допускане )
Ако p не дели |H| то p дели |G/H| - реда на фактор-групата G/H, която, по индуктивното предположение, ще съдържа елемент от ред p.
Нека този елемент е класът xH.
Ако p не дели |H| то p дели |G/H| - реда на фактор-групата G/H, която, по индуктивното предположение, ще съдържа елемент от ред p.
Нека този елемент е класът xH.
Нека m е редът на x в групата G.
Тогава x^m = e. От равенството (xH)^m = eH в G/H следва, че p дели m.
Следователно x^m/p е елемент от ред p в G.
С това е завършено доказателството в случай, че G е абелева.
В общия случай, нека Z е център на групата G. Z е абелева група.
Ако p дели |Z| то Z съдържа елемент от ред p по вече доказаното.
Този елемент е от същия ред и в G.
Така, че можем да предположим, че p не дели реда на Z.
Преди да преминем към общия случай се налага да въведем някои понятия, и изкажем твърдения за тях, които заслужават отделни страници.
Два елемента a и b от групата G се наричат спрегнати, ако съществува такъв елемент g от G, че b = g_-1a g.
Релацията спрегнатост е релация на еквивалентност в G.
Централизатор на елемента a от групата G се нарича съвкупността от елементи на G, комутиращи с a.
Централизаторът на a е подгрупа на G.
Означава се с C_G(a).
Броят на елементите от класа еквивалентност спрямо релацията спрегнатост, съдържащ a е равен на индекса на C_G(a) в G, който се означава с [G:C_G(a)].
Център на групата G се нарича множеството елементи на G, комутиращи с всички елементи на G.
Означава се с Z.
Елементите от центъра не съдържат други елементи в своя клас на еквивалентност спрямо релацията спрягане.

Нека Z е център на групата G. Z е абелева група.
Ако p дели Z то Z съдържа елемент от ред p по вече доказаното.
Този елемент е от същия ред и в G.
Така, че можем да предположим, че p не дели реда на Z.
Но ако е така, то съществува клас на еквивалентност спрямо операцията спрягане, чийто брой елементи не се дели на p.
Броят на елементите в този клас е равен на индекса [G:C_G(a)] , където a е произволен елемент от класа.
Понеже p дели |G|, и не дели индекса то е необходимо p да дели реда на групата C_G(a).
С това първото доказателство на теоремата на Коши е завършено.

Второ доказателство

И това доказателство се основава на допълнителни знания. Казва се, че групата G действа на множеството S={A, B, ...X, Y, ..}, ако на всеки елемент от S и на всеки елемент от групата G се съпоставя друг елемент от S, така, че са изпълнени следните условия:
1. За всеки елемент X от S е в сила e(X)=X, където e е единичния елемент на групата.
2. За всеки елемент X от S и всеки два елемента g и h от G е изпълнено условието за съгласуваност: (g h)( X ) = g ( h ( X )).
Стабилизатор на елемента X се нарича множеството St_G(X) от елементи на групата, които оставят X място, т.е. стабилизаторът на G се състои от тези и само тези елементи на G за които g(X)=X.
Стабилизаторът на един елемент X не винаги е нормална подгрупа в G.
Орбита на елемента X от S се нарича подмножеството от елементи на S в които се изобразява елемента X под действието на G.
Т.е. това е множеството от тези елементи Y, за които съществува такова g от G, за което Y = g(X).
Орбитата на елемента X се означава с G(X).
Броят на елементите от орбитата G(X) се нарича нейна дължина.
Релацията два елемента от S да принадлежат на една и съща орбита е релация на еквивалентност в S.
Дължината на орбитата G(X) е равен на индекса на стабилизатора на X в G: |G(X)|=[G:StG(X)].
От тук следва, че дължината на всяка орбита е делител на реда на групата.
Ако P е циклична група от ред p, където p е просто число, то дължините на орбитите в S могат да бъдат само 1 и p.
Сега да разгледаме набор от p елемента на групата G, чието произведение е единичния елемент e.
Понеже първите p-1 елемента могат да се избират произволно от G а последния елемент се определя от споменатото условие, множеството такива набори има |G|^p-1 на брой елемента.
Това множество ще означим с S.
Върху него ще действа циклична група от пермутации.
Циклична пермутация на набор от елементи се нарича тази, при която първият елемент застава на последно място.
От истината, че ако ab=e то и ba=e, следва, че при произволна циклична пермутация на множителите на елемент от S отново получаваме произведение равно на e или елемент от S.
Тогава върху S действа цикличната група от пермутации от ред p.
Както беше отбелязано, орбитите в множеството S имат дължина или 1 или p.

Елементите на S, които имат орбити с дължина 1 са тези от вида (x,x,...,x), където x е такъв елемент от S, за който x^p = e.
Една такава орбита, състояща се само от един елемент е {(e,e,...,e)}.
Следователно има поне още p-1 такива елемента от S с орбита с дължина 1.
Какво ще научим?