Какво трябва да знаем?

Хипербола

Станчо Вълканов Павлов - Бургаски университет "проф д-р Асен Златаров" - stancho_pavlov@yahoo.com - 6-ти декември 2018 г.

    Хиперболата е линия, за всяка точка от която разликата от разстоянията от нея до две неподвижни точки е постоянна и е равна на ± 2a. Неподвижните точки се наричат фокуси на хиперболата. Ще ги означаваме с F1 и F2. Нека разстоянието между фокусите е 2c. То се нарича междуфокусно разстояние.
    Подбираме координатна система, така че началото й да съвпада със средата на отсечката F1F2 и абцисата й да бъде по тази отсечка. Тогава фокусите ще имат координати F1(-c, 0) и F2(c, 0).
Междуфокусно растояние и фокални радиуси-Hyp
    Нека точка M лежи на хиперболата. Означаваме разстоянията от M до фокусите с r1 и r2. Тези разстояния се наричат фокусни разстояния а отсечките - фокусни радиуси.
Хипербола-HipDrwng1
    Уравнението на хиперболата се определя с условието r1 - r2 = ± 2a. Изразявайки фокусните радиуси и освобождавайки се от радикалите ? получаваме каноничното уравнение на хиперболата Канонично уравнение на хиперболата-CanEqHyp1 , в което е положено Означение за втората полуос-bNot .
Чертеж на хиперболата-HypDrng
    Правоъгълникът с дължини на страните 2a и 2b - успоредни на координатните оси с център O се нарича основен правоъгълник на хиперболата.
Лесно се установяват следните свойства на графиката на хиперболата:
  1. Тя е симетрична относно осите Ox , Oy и началото на координатната система
  2. Графиката притежава асимтоти с уравнения Асимтоти-asymptote
    Важна характеристика на хиперболата е нейния ексцентритет, определен от равенството ε=c/a >1 , откъдето Ексцентритет-eccentricity.
Ще изразим y2 като функция на x и ексцентритета:
y^2-ySqwr
    След като сме определили y2 ще намерим и фокалните радиуси на хиперболата -
Фокусен радиус-r2
Отчитайки знаците, за десния клон на хиперболата получаваме F: Фокусен  радиус -FRad2 и Фокусен  радиус -FRad1

Директриси на хиперболата


    За хипербола с полуоси a и b съществува вертикална права с уравнение Директриса-directrix наричана директриса ,такава, че за произволна точка M от десния клон на хиперболата отношението на второто фокусно разстояние към разстоянието до директрисата е равно на ексцентритета ε.     Доказателство: ?

Полярно уравнение на хиперболата

    Избираме полярната координатна система с начало фокуса на хиперболата - точка F2. Хипербола, директриса и полярно уравнение-EqPolar. Да означим с p ординатата на точката от хиперболата чиято проекция върху абцисата съвпада с фокуса F2. Хорда на конично сечение прекарана през фокус успоредно на директрисата се нарича на латински latus rectum , което означава буквално "страна - права". Ще докажем, че полярното уравнение на хиперболата е Полярно уравнение на хиперболата -PolarEq0. ?

Уравнение на допирателната към хиперболата и оптичното свойство на последната

    Ще покажем, че ако светлинен лъч с източник втория фокус F2 на хиперболата се отрази от нейната линия, то продължението на отразения лъч преминава през другия фокус - F1 .
Доказателство:
Ако k е крива, зададена с неявно уравнение k : F(x, y)=0 и A(x0, y0) е точка от нея, то уравнението на допирателната към кривата k, минаваща през точка A е:
Уравнение на допирателна към крива през точка от нея-Tng
    Ако кривата е хипербола с уравнение Канонично уравнение на хиперболата-CanEqHyp1 за уравнението на допирателната получаваме: Уравнение на допирателна към хипербола през точка от нея- EqNrm0
Съкращаваме на две и отчитаме принадлежността на т. A към хиперболата - t : Уравнение на допирателна към хипербола през точка от нея-EqNrm1.
    Нормалният вектор на допирателната има координати Координати на нормалния вектор към допирателната-VctNrm а фокусният вектор от втория фокус към допирната точка A - Фокусен вектор- VctFocus2.
Оптично свойство-FocalPrpty
    Скаларното произвединие се определя от равенствата Скаларно произведение-ScrPr. Числителят на последната дроб е равен на дължината на втория фокален радиус. Следователно косинуса на ъгъла между фокусния вектор и нормалата е Косинусът на ъгъла между фокусния вектор и нормалата-cos. Разглеждайки другият фокусен вектор Другия фокусен вектор- VctFocus1 и извършвайки същите разсъждения, получаваме че ъгълът на падане е равен на ъгъла на отражение.

Диаметри на хиперболата


Средите на успоредни хорди на хиперболата лежат на една права, която се нарича неин диаметър.
Доказателство Нека A1(x1 , y1) и A2(x2 , y2) са две точки от хиперболата, като ъгловият коефициент на правата определена от тях е Ъгловият коефициент-Slope. Тогава Две точки от хиперболата-_2Pnts1. Да извадим първото уравнение от второто: Две точки от хиперболата-_2Pnts2
Като разделим на разликата x2-x1 , положим X да е равно на полусбора на x-овете и подобно за Y - на y-реците и вземем предвид, че Ъгловият коефициент-Slope получаваме уравнението на средите на хордите с ъглов коефициент k: Уравнение на диаметъра-Diam , откъдето Уравнение на диаметъра- EqDiam.
    Два диаметъра се наричат спрегнати, ако за ъгловите коефициенти k1 и k2 на техните направления е изпълнено равенството Спрегнати диаметри-CngDiam Диаметърът, определен от направлението k1 има направление с ъглов коефициент k2. Диаметърът на хордите с направление k2 е спрегнатият на първия.
Спрегнати диаметри на хипербола-DiamCongte

Полюс и поляра на хиперболата

    Полярните свойства на кривите от втора степен се разкриват естествено и напълно в проективната геометрия. За окръжност се изучават в по-задълбочените материали по елементарна геометрия. Тук ще приведем основните определения и формули.
    На точка P с координати (x0 , y0) се съпоставя нейната поляра - права p с уравнение Поляра-Polar спрямо хиперболата k с уравнение Канонично уравнение на хиперболата-CanEqHyp1. Точката P се нарича полюс на правата p спрямо хиперболата k.
    Ще намерим полюсът на правата Уравнение на права -Line.
Привеждаме уравнението на правата във вида Поляра-Polar и определяме координатите на полюса (x0 , y0).
Определяне на координатите на полюса-Pole
Какво ще научим?