Привеждане в каноничен вид на линейно частно диференциално уравнение от втори
ред чрез метода на характеристиките -
указания към задачите
Чрез този метод може да се опрости израза
a11uxx+ 2a12uxy+ a22uyy
който се съдържа в едно частно уравнение от втори ред.
В по-елементарните случаи коефициентите aij са константи но в по-общия случай
те са функции на x и y.
Тук предполагаме, че aij са реални числа.
Целта ни е да въведем нови неизвестни ξ и η - функции на x и y, така че да се
опрости този израз.
Съставя се характеристичното уравнение, съответстващо на израза:
a11uxx+ 2a12uxy+ a22uyy То е
a11(dy)2 - 2a12(dx)(dy) + a22 =0
Да обърнем внимание на противоположния знак на коефициента пред смесената производна.
Разделяйки двете страни на характеристичното уравнение на
(dx)2 получаваме квадратно уравнение спрямо първата производна:
a11(y′)2 - 2a12(y′) + a22 =0
Ако квадратното уравнение има два реални корена се казва, че
частното ДУ(диференциалното уравнение) от втори ред е от хиперболичен тип.
Ако коренът е един – типът е параболичен.
А ако и двата корена на характеристичното уравнение са комплексни
ЧДУ (частното диференциалното уравнение) е от елиптичен тип.
Ще поясним как се въвеждат новите променливи ξ и η като функции на x и y при
отделните видове уравнение.
Хиперболичен вид
Характеристичното уравнение има вида
a11(y′)2 - 2a12(y′) + a22 =0
с реални корени
y′ = z1 и y′ = z2 Решават се двете обикновени ДУ, съответстващи на двата корена.
Търсените нови променливи са ξ(x,y)=z1x-y и η(x,y)=z2x-y
Чрез тях изразът
a11uxx + 2a12uxy + a22uyy
се свежда до вида
u ξη .
Параболичен вид
Характеристичното уравнение има вида
a11(y′)2 - 2a12(y′) + a22 =0
с един двоен, реален корен: y′ = z1 Решението на това обикновено ДУ е:
Това е и първата нова променлива - ξ:
Втората - η може да е произволна функция на x и y.
Обикновено тя е една от променливите x или y.
Чрез тази смяна изразът
a11uxx + 2a12uxy + a22uyy
се свежда до вида
u ηη .
Елиптичен вид
Характеристичното уравнение има вида
a11(y′)2 - 2a12(y′) + a22 =0
с комплексни корени
y′ = z = a ± i.b
Търсените нови променливи са
ξ(x,y) = ax-y и η(x,y) = bx
Чрез тях изразът
a11uxx + 2a12uxy + a22uyy
се свежда до вида
u ξξ + u ηη .
Литература:
Доц. Венера Сотирова Димова-Нанчева
Доц. Александър Михайлов Витанов
Доц. Георги Иванов Караджов
Доц. Иван Михайлов Михов
Васил Борисов Попов
Стефанка Стефанова Тодорова
Методическо ръководство за решаване на задачи по висша математика –част 4
