Примери за привеждане в каноничен вид и решаване на частни диференциални уравнения от втори ред с постоянни коефициенти чрез метода на характеристиките

Какво трябва да знаем:
Квадратно уравнение Обикновени диференциални уравнения
Производна на сложна функция на повече променливи
Определяне на вторите производна на сложна функция на много променливи и матричните им означения
Решаване на канонизирани частни диферинциални уравнения от втори ред
Привеждане в каноничен вид на линейно частно диференциално уравнение от втори ред чрез метода на характеристиките - указания към задачите

Висша математика II част
Уравнения на математическата физика
Висша математика III част

Примери за привеждане в каноничен вид и решаване на частни диференциални уравнения
от втори ред с постоянни коефициенти чрез метода на характеристиките

Иска се да се реши частното диференциално уравнение от втори ред с постоянни коефициенти a₁₁u_xx + 2a₁₂u_xy+ a₂₂u_yy
Определя се неговото характеристично уравнение a₁₁(y′)² - 2a₁₂(y′) + a₂₂ =0
Обърнете внимание на смяната на знака пред 2a₁₂!
Характеристичното уравнение е квадратно спрямо y′.
Намират се неговите решения и се определят новите променливи ξ и η, както е описано в
„Привеждане в каноничен вид на линейно частно диференциално уравнение от втори ред чрез метода на характеристиките - указания към задачите”
След това трябва да се определят първите и вторите производни на u спрямо новите променливи ξ и η по формулите: Първите частни производни -DerFirst

Техният подробен извод е направен в
„Определяне на вторите производна на сложна функция на много променливи и матричните им означения”
След това се прилагат формулите за общо решение

Вид	Канонизирано уравнение	Решение
Хиперболичен	u_ξη = 0	f(ξ) + g(η)
Параболичен	u_ξξ = 0	ξ.f(η) + g(η)
Елиптичен	u_ξξ + u_ηη = 0	f(ξ + iη) + g(ξ - iη)

малко по-подробно пояснени в „Решаване на канонизирани частни диферинциални уравнения от втори ред”.

Ами, това е!
Да разгледаме по един пример.

Уравнение от хиперболичен вид

u_xx - 3u_xy+ 2u_yy = 0
Характеристичното уравнение е (y′)² + 3(y′) + 2 =0 с корени -1 и -2.
За първия корен: y′ = -1
Решението на това обикновено ДУ е y = - x+C ⇒ x + y = C
Подобно намираме решенията и за другия: y = -2x+C ⇒ 2x + y = C
Новите променливи са ξ = x + y
η = 2x + y
Сега трябва да намерим честните производни на ξ и η спрямо x и y и след това последователно първите и вторите производни на u спрямо същите променливи.
После ще заместим в уравнението uxx - 3uxy+ 2uyy=0
Да започнем: ξ_x = 1 ξ_y = 1
η_x = 2 η_y = 1
u_x = u_ξ ξ_x + u_ηη_x = u_ξ + 2u_η
u_y = u_ξ ξ_y + u_ηη_y = u_ξ + u_η

u_xx = u_ξξ ξ_x + u_ξηη_x + 2(u_ξηξ_x + u_ηηη_x ) = u_ξξ + 4u_ξη + 4u_ηη
u_xy = u_ξξ ξ_y + u_ξηη_y + 2(u_ξηξ_y + u_ηηη_y) = u_ξξ + 3u_ξη + 2u_ηη
u_yy = u_ξξξ_y + u_ξη η_y + u_ξηξ_y + u_ηηη_y = u_ξξ + 2u_ξη + u_ηη

Нанасяме получените втори производни прилежно в таблица и отдясно записваме коефициентите пред тях в уравнението.
Отдолу записваме резултата от заместването.

u_xx	u_ξξ + 4u_ξη + 4u_ηη	1
u_xy	u_ξξ + 3u_ξη + 2u_ηη	-3
u_yy	u_ξξ + 2u_ξη + u_ηη	2
u_xx - 3u_xy+ 2u_yy	-u_ξη

Уравнението се преобразува в u_ξη = 0 с решение u = f(ξ) + g(η) = f(x + y) + g(2x + y)

Уравнение от параболичен вид

u_xx +2u_xy+ u_yy = 0
Характеристичното уравнение е (y′)² - 2(y′) + 1 = 0 с един двоен реален корен y′=1
Решението на това обикновено ДУ е y = x+C ⇒ x-y = C
Това е и първата нова променлива - ξ: ξ = x-y За втората - η избираме η = y.
Сега трябва да намерим честните производни на ξ и η спрямо x и y и след това последователно първите и вторите производни на u спрямо същите променливи.
После ще заместим в уравнението u_xx + 2u_xy+ u_yy = 0
Да започнем: ξ_x = 1 ξ_y = -1
η_x = 0 η_y = 1
u_x = u_ξξ_x + u_ηη_x = u_ξ
u_y = u_ξξ_y + u_ηη_y = -u_ξ + u_η

u_xx = u_ξξξ_x + u_ξηη_x = u_ξξ
u_xy = u_ξξ ξ_y + u_ξηη_y = -u_ξξ + u_{ξη

u_yy = -u_ξξξ_y -u_ξη η_y +
u_ξηξ_y + u_ηηη_y =
u_ξξ - 2u_ξη + u_ηη}

u_xx	u_ξξ	1
u_xy	-u_ξξ + u_ξη	2
u_yy	u_ξξ - 2u_ξη + u_ηη	1
u_xx + 2u_xy+ u_yy	u_ηη

Уравнението се преобразува в u_ηη = 0 с решение u = ηf(ξ) + g(ξ) = yf(x-y) + g(x-y)

Уравнение от елиптичен вид

u_xx +2u_xy + 2u_yy = 0
Характеристичното уравнение има вида (y′)² - 2(y′) + 2 = 0 с комплексни корени y’= 1 ± i
Решението на това обикновено ДУ с комплексни коефициенти е y = (1 ± i)x+C ⇒ (x-y) ± i(x) = C x - y = C и x = C ξ = x-y η = x
Сега трябва да намерим честните производни на ξ и η спрямо x и y и след това последователно първите и вторите производни на u спрямо същите променливи.
После ще заместим в уравнението u_xx + 2u_xy + 2u_yy = 0 ξ_x = 1 ξ_y = -1
η_x = 1 η_y = 0
u_x = u_ξξ_x + u_ηη_x = u_ξ + u_η
u_y = u_ξξ_y + u_ηη_y = -u_ξ

u_xx = u_ξξξ_x + u_ξηη_x+ u_ηξ ξ_x + u_ηη η_x = u_ξξ + 2u_ξη + u_ηη
u_xy = u_ξξ ξ_y + u_ξηη_y + u_ηξ ξ_y + u_ηη η_y = -u_ξξ - u_{ξη

u_yy = -u_ξξξ_y -u_ξη η_y
= u_ξξ}

u_xx	u_ξξ + 2u_ξη + u_ηη	1
u_xy	-u_ξξ - u_ξη	2
u_yy	u_ξξ	2
u_xx + 2u_xy+ u_yy	u_ξξ + u_ηη

Уравнението се преобразува в u_ξξ + u_ηη = 0 със спрегнати решения -
реалната и имагинерната части на комплексната функция u = f(ξ + iη) + g(ξ - iη)
Заместваме ξ и η от полагането ξ = x-y и η = x

u = f(x-y + ix) + g(x-y - ix)
Спрегнатите решения са реалната и имагинерната част на u.

Какво ще научим:
Решаване на вълновото уравнение по метода на характеристиките
Частни диференциални уравнения от втори ред с променливи коефициенти - метод на характеристиките

Висша математика II част
Уравнения на математическата физика
Висша математика III част