Ако четем – пишем. Ако не пишем – не четем. Ако пишем – умуваме.
Какво трябва да знаем:      
Производна на сложна функция на повече променливи  
Системи от обикновени диференциални уравнения  
Решени задачи по частни диференциални уравнения от първи ред  

Висша математика II част
Висша математика III част

Решаване на вълновото уравнение по метода на характеристиките

Ще намерим общото решение на уравнението на струната         ,         където u = u(x,t).
Ще сменим променливите с нови - ξ и σ , подбирайки ги така, че премахнем от уравнението едната втора производна и да я заменим със смесена.   Този метод се нарича „ метод на характеристиките ”.
Да оставим праменливата x непроменена а t да заменим с нова променлива: σ = t - ω(x).
Смяната на променливите се осъществява със системата
Неизвестната функция ω(x) ще изберем по специален начен, с цел да получим желаното опростяване.
Използваме формулите за диференциране на сложна функция.        
Сега да намерим частните производни на u спрямо x.
Първо първата:       

После втората:        
Замествайки utt и uxx в уравнението получаваме:
Желаем да елиминираме uσσ . Това ще се случи ако        
Втората производна на ω е нула, което е съществено облекчение.
Тогава и уравнението придобива вида
Да го интегрираме по отношение на променливата x.        
Това е едно лесно частно диференциално уравнение от първи ред. Свежда се до системата        
Групирайки втория и третия израз получаваме един първи интеграл на уравнението:        
Първите два израза ни дават другата необходима връзка:        
Сега да се върнем към първия интеграл:        
Понеже F е произволна функция и a е константа, ние можем да заменим аргумента с at - x
или по-добре, от съобръженение за симетричност, с x - at.          
Решението на частното диференциално уравнение ще бъде:
Ще изразяваме u.
Ще направим проверка.

Ясно!
Какво ще научим:
Привеждане в каноничен вид на
линейно частно диференциално уравнение от втори ред чрез
метода на характеристиките -
указания към задачите

Вълново уравнение               Потенциал      
Уравнение на Лаплас       Електромагнитни вълни      
Висша математика II част
Висша математика III част