Знанията по полов път не се предават.
Основно решение на уравнението на Лаплас като функция от разстоянието
Тази страница е заимствана от книгата на проф.Тодор Генчев
Частни диференциални уравнения
Издателство "Наука и Изкуство" 1976г.
Уравнението но Лаплас за функция на 3 променливи е
,
където Δ (делта) е операторът на Лаплас.
Функции, удовлетворяващи това уравнение се наричат хармонични.
Ще покажем , че единствените хармонични функции от вида f = f(r), където
са функциите
Нека
f зависи от r посредством (x,y,z) - зависимост, която ще изразим с равенствата:
f = f(x,y,z) = f( r(x,y,z) ).
Да намерим втората производна на f спрямо x използвайки правилата на диференциране на сложна функция на повече променливи.
Аналогично се намират и останалите производни.
Уравнението на Лаплас придобива вида
Последното уравнение с полагането u:=f/ се свежда до
обикновено линейно диференциално уравнение от първи ред.
От тук намираме
Изборът на точката (0,0,0) не е от значение.
Тя може да бъде заменена с произволна точка
, което няма да промени вида на производните.
Какво ще научим:
Представяне на стойностите на функция чрез потенциалите