Представяне на стойностите на функция чрез потенциалите
Тази страница е заимствана от книгата на проф.Тодор Генчев
Частни диференциални уравнения
Издателство "Наука и Изкуство" 1976г.
Нека V е област в тримерното пространство с гранична повърхност Γ .
Нека още P0 е вътрешна за V точка. Предполагаме, че нейните координати са (0,0,0).
Ако P е точка от V да означим с r разстоянието от P0 до P :
Знаем, че функцията 1/r е хармонична в V\{P0}.
Да предположим, че v е произволна функция, за която е дефиниран операторът на Лаплас и че има
непрекъснати частни производни в областта V и по нейната граница Γ.
Да приложим симетричната формула на Грийн
при
Няма да успеем за цялата област V защото u не е дефинирана в P0.
Затова ще оградим P0 със сфера σε с радиус ε и ще приложим формулата за
D = V\Sε .
Sε е обемът, ограден от сферата σε .
Знаем, че u е хармонична. Тогава Δu=0.
Интегралът отдясно е равен на сумата
Векторът на нормалата n в първия интеграл е насочен навън от тялото V, перпендикулярно на Γ
а във втория -
навътре в сферата σε, към точката P0 .
Вторият интеграл, от своя страна се разделя на два интеграла
Целта ни е да докажем, че първият от тях клони към нула при ε → 0
а вторият към стойността на функцията v в точката P0 ,
като при това ще се появи вездесъщата константа π.
Да видим:
v , бидейки непрекъснато диференцируема във V има непрекъснат градиент.
Тогава производната по направление
е ограничена, да кажем от константата M по сферата
σε
с лице 4πε2 .
При вторият интеграл нормлният вектор е насочен по посока на градиента
( посоката на максималното нарастване ) на функцията 1/r .
Затова производната по направление ще има положителен знак и се изчислява така:
От теоремата за средните стойности получаваме
,
където P е някаква точка от сферата σε .
При ε клонящо към нула точка P ще се доближава към P0.
Да се върнем към началото и да приложим наученото за интегралите при ε → 0 .
Интегралът отляво изглежда разсходящ, но това не е така, защото Δv е ограничена във V а интегралът
, след преминаване в сферични координати се разбира че е сходящ.
Окончателно
Или
Интеграл от вида
се нарича потенциал от прост слой.
потенциал от двоен слой.
А интегралът
– обемен потенциал.
Какво ще научим:
Свойства на хармоничните функции