Ако със гледане се взимаше занаят - кучето щеше да бъде най-добрият касапин.
Какво трябва да знаем:      
Диференциални уравнения с отделящи се променливи       Частни производни  
Решени задачи по частни диференциални уравнения от първи ред  
Висша математика II част
Висша математика III част
Уравнения на математическата физика

Решаване на частно деференциално уравнение чрез разделяне на променливите

Това е откъс от книгата на
акад. Хр. Я. Христов
Математически методи на физиката
Издателство „Наука и искуство” - 1967 г.


Нека е дадено хомогенно линейно частно деференцирано уравнение:        
Където u е неизвестна функция с с независими променливи (x,y):         u = u(x,y).
Нека още a,b,c , и p са функции само на x, a останалите - d,e,f, и q - само на y.
Ще запишем уравнението по-подробно подчертавайки зависимостите от променливите:
Чрез полагането         u(x,y)=X(x).Y(y)         уравнението се свежда до системата        
α е произволна константа.
Първото уравнение съдържа само променливата x а второто – само y.
Записваме уравнението във вида:        
Лявата чат е функция само на x а дясната – само на y.
Тогава те трябва да бъдат равни на константа, която ще означим с α.

Нека               са двойка независими решения на първото уравнение а       – на второто.
Всяко от тези решения зависи от параметъра α.
Така получаваме четири решения на изходното уравнение:      
Тогава и всяка тяхна линейна комбинация с коефициенти, зависещи от α е решение.
Общото решение може да се представи и като             като границите на интегриране са произволни константи, дори и ±∞.
Ще решим чрез отделяне на променливите уравнението             след което ще го решим и като частно диференциално линейно уравнение от първи ред.
Ще сравним двата рузултата.

Отделяме променливите:             Тук α е константа.
Уравнението се разпада на системата:             с решения:      
Тогава u е тяхното произведение      
Общото решение е      
Понеже C(α) е произволна функция и A и B са числови константи, то интегралът е произволна функция на x-y.
Сега да решим уравнението като линейно от първи ред:      
Определяме два първи интеграла:      

Тогава решението е:      

Изразявайки първия аргумент получаваме:      
Същото!


Какво ще научим:       
Решаване на вълновото уравнение чрез разделяне на променливите – стоящи вълни
Метод на характеристиките за решаване на частни диференциални уравнения      
Класификация на чатните диференциални уравнения      
Вълново уравнение               Потенциал      
Уравнение на Лаплас       Електромагнитни вълни