Ако със гледане се взимаше занаят - кучето щеше да бъде най-добрият касапин.
Решаване на вълновото уравнение чрез разделяне на променливите – стоящи вълни
Това е откъс от книгата
Дифференциальные уравнения математической физики - В. И. Левин и Ю.И. Гросберг
Физико-математическая библиотека инжинера
Государственое издателство технико-теоретическо литературы
Москва 1951 - Ленинград
Ще разгледаме вълновото уравнение
То отговаря на условието за разделяне на променливите.
Полагаме u(x,t)=X(t)T(t)
В началото ще изучим стоящите вълни, отговарящи на решенията с крайни условия
X(0) = X(l ) = 0
Понеже лявата част зависи само от t а дясната не зависи от t то и дясната и лявата са равни на една и съща константа.
Да я означим с -λ.
Общото решение на първото уравнение е
Сега да използваме началното и крайно условие
X(0) = X(l ) = 0 , за да уточним нещата.
Ако C е нула това би съответствало на очевидното решение на покой на струната.
Ще предполагаме, че C е различно от нула.
При λ=0 отново се получава нулевото решение.
Преминавайки към комплексните числа получаваме:
Решението при n = 0 отпада като вече разгледано.
Замествайки в общото решение
получаваме:
За да се получи реално решение е необходимо C да бъде чисто имагинерно.
Означавайки константата 2iC отново със C получаваме решението:
Сега, знаейки X(x) да решим уравнението
Общото решение има вида
Изнасяйки
и полагайки
получаваме
An е свързва с амплитудата на вълната а φn с нейната фаза.
Сега можем да запишем окончателния израз за всички възможни стоящи вълни:
Какво ще научим:
Метод на характеристиките за решаване на частни диференциални уравнения
Класификация на чатните диференциални уравнения
Вълново уравнение
Потенциал
Уравнение на Лаплас
Електромагнитни вълни