Питагоровата теорема в многомерното пространство

Станчо Вълканов Павлов
27 юли 2010 г.

Двумерно пространство

Ще разгледам две доказателства в двумерния случай, желаейки де ги обобщя.

Векторите по катетите са перпендикулярни.
Скаларното им произведение е нула.
Което показва че квадрата на дължината на вектора по хипотенузата е сума от квадратите на дължините на векторите по катетите.

Ще разгледам векторите
S1 , S2 и Δ, които са перпендикулярни на страните на правоъгълния триъгълник.
Тяхната сума е нулевият вектор, като векторите S1 и S2 са перпендикулярни.
S1 + S2 + Δ = 0
Прехвърляйки Δ от другата страна и повдигайки на квадрат достигам до доказателството.

Мечтая

Ще предположа, че в n-мерното пространство векторите S1 , S2 ... Sn са перпендикялярни помежду си, насочени са навън n- мерното тяло и дължините им са равни на "обемите" на страните на "тялото", каквото и да означават думите, поставени в кавички.
Нека Δ е вектор с дължина равна на "обема" на "страната" срещу "правия ъгъл" и
Повдигайки на квадрат и отчитайки взаимната перпендикулярност на векторите отляво, получавам търсеното равенство.

Тримерно пространство


Нека a , b и c са взаимно перпендикулярни вектори.
Векторите a, b и c са с дължини, равни на лицата на съответните правоъгълници и са насочени навън от тетраедъра.
Векторът Δ = ( c - a ) x ( b - a ) също е насочен навън и е равен на лицето на успоредника, прикрепен към векторите от основата c - a и b - a . Използвайки векторното произведение и неговите свойства се доказва, че: a x b + b x c + c x a + Δ = 0.
От взаимната перпендикулярност на векторните произведения следва Питагоровата теорема в тримерното пространство:
(a x b)2 + (b x c)2 + (c x a)2 = Δ2

Едно трудно доказателство на Питагоровата теорема в четиримерното пространство


Ще работя по следния план.
1 ) Избирам естествения ортонормиран базис, състоящ се от единичните вектори, колинеарни на векторите a1 , a2 , a3 и a4 .
Тези единични вектори ще ги означавам с Е1 , Е2 , Е3 и Е4 .
2) На всеки три вектора Δ1 , Δ2 и Δ3 от четиримерното пространство съпоставям число, което ще наричам "обем" на паралелепипеда, определен от тях.
Трите вектора Δ1 , Δ2 и Δ3 определят тримерно подпространство в четиримерното.
Това подпространство ще го означавам с < Δi > i = 1..3 .
След това намирам ортонормиран базис в подпространството < Δi >
Ще означа този ортонормиран базис с e1 , e2 и e3 и ще изразя векторите Δi чрез базисните и след това ще намеря смесеното им произведение.

Търся вектора e3 от условията:
От първото условие следва, че , като p + q + r + s = 0.


От условието p + q + r + s = 0 получавам:
Въвеждам означенията:
Тогава k = - S34 и l = S12 .
Ще въведа още едно означение.
Ако векторът v има координати в даден базис ще използвам символиката
По този начин координатите на e3 се записват така:
Или даже още по-кратко:
Нанасям резултатите прегледно в таблица.

Смятам да нормирам намерения базис.
За целта ще намеря дължините на векторите e1 , e2 и e3 .


Изразът в скобите ще означа с
Получих, че:
Полагам:

Ще изразя векторите Δ i чрез базисните вектори.
За да направя това трябва да определя скаларните произведения Δi.ej.






, където
Коефициентите αij ще представя като матрица V = (αij)
Нейната детерминанта е равна на ориентирания обем на паралелепипеда, определен от векторите Δi.


Векторно произведение на n-1 вектора в n -мерното векторно пространство

Нека векторите a1 , a2 , … , an-1 , имат координати в ортонормирания базис
Под векторно произведение на векторите ai ще разбирам вектора
Последната детерминанта ще означавам с , като под символа ai ще разбирам реда
i = 1, 2 ,3 … n.

Доказват се свойствата
1 ) Ако разменим местата на два реда във векторното произведение, то променя своя знак.
В това свойство се включва и първият ред от последната детерминанта.
2 ) Векторното произведение не се променя, ако умножим един от последните n-1 реда па число и го прибавим към друг от тях.
3 ) Векторното произведение е перпендикулярно на всеки един от векторите ai .
4 ) Векторното произведение е инвариантно по отношение на ортонормирания базис E .

(n-1) - мерен обем в n-мерното векторно пространство на паралелепипеда, определен от векторите
ще наричам дължината на вектора .
Ще наричам този вектор изразяващ обема на системата , състояща се от (n-1) n-мерни вектори.
В n-мерното векторно пространство връзката между обема на тетраедъра и паралелепипеда, определени от системата вектори се задава с формулата:

За ориентацията

Нека в n -мерното векторно пространство е зададен ортонормиран базис и
система от n линейно независими вектори .
Системата ще наричам положително ориентирана, ако е положителна.
Тук, както и преди ai е редът от координатите на вектора ai в базиса E .
Предложение
Системата , където ai са линейно независими вектори е еднакво ориентирана със системата
, където
Векторът има координати, които са равни на
- адюнгираните количества на i-тия ред на детерминантата  
Детерминантата ще бъде равна на .

Сумата от векторите, изразяващи обемите на стените на многомерен тетраедър имат нулева дължина


Ако е тетраедърът определен от векторите ai от n-мерното векторно пространство, то той има n + 1 на брой (n-1)-мерни стени.
Една стена - Si се определя като изключим i-тия вектор от системата
На стената съпоставям вектор , изразяващ обема на тази стена.
Векторът Si е перпендикулярен на страната Si .
Последната стена се определя от векторите
Ще означа вектора, изразяващ обема на тази стена с:
Ще покажа, че:
При доказателството ще използвам метода на математическата индукция, както и свойствата на детерминантите.
При n = 2 :

При n = 3 :

Вече се забелязват тенденциите.
В началото премествам реда E в началото на детерминантите, определящи векторните произведения.
При това знаците се променят алтернативно.
Използвайки индукционното допускане, свеждам сумата на първите (n-1) събираеми до вида:
при което се получава:
След това изваждам втория ред от второто събираемо от останалите редове и го премествам на мястото на последния, разменяйки го последователно с по-долните.
Последната операция променя знака (n-2) пъти .
Накрая получаваме:

Питагоровата теорема в n-мерното пространство

Нека са дадени n взаимно перпендикулярни вектори в n-мерното пространство

Векторът
, бидейки перпендикулярен на своите множители е колинеарен на ai .
Следователно векторите Si са перпендикулярни помежду си.
Големината на вектора Si е равна на (n-1) мерния обем на паралелепипеда, определен от векторите

Лицето на тетраедъра е 1/n! от лицето на този паралелепипеда.
Вече доказах, че

Повдигайки скаларно на квадрат и отчитайки взаимната перпендикулярност на векторите отляво получаваме

Умножавайки по множителя 1/n! получаваме Питагоровата теорема в n-мерното пространство.

В правоъгълния тетраедър в n-мерното пространство сумата от квадратите на (n-1)-мерните обеми на страните, прилежащи на правия ъгъл е равна квадрата на (n-1)- мерния обем на срещуположната на правия ъгъл страна.