n-та производна, y=exp(P(x))

n-тата производна на функцията y=e^P(x)

Станчо Вълканов Павлов
1 юни 2012 г.

Първите няколко производни са: Първите производни Derivative_0

Забелязват се следните зависимости

y⁽ⁿ⁾ = e^PA , където A е полином с променливи (P(1) , P(2) , P(3) ,…, P(n) ) .
P⁽⁰⁾ =P не участва.
Едночлените на A са от вида
като

Наборът

ще наричаме сигнатура. Коефициентът пред едночелените ще означаваме с a_S .
Например ако Сигнатура 2 signature_2

то a_S = 10. В статията са намерени явни формули за a_S .
Да представим y в степенен ред

и да намерим n - тата производна:

В израза A не участва P = P⁽⁰⁾ = P. Събираемите, в които P участва се „поглъщат” от множителя е^P в y⁽ⁿ⁾ .
От сумата представяща y⁽ⁿ⁾ трябва да изключим събираемите в които участва P като множител.

Ще покажем, че P присъства във всички събираеми след n –тото.
Използваме формулата на Лайбниц: Лайбниц 1 Leibniz_1

В частен случай, при A₁ = A₂ = A₃ = ... = A_k = P формулата придобива вида Лайбниц 2 Leibniz_2

Ако k > n и n₁+ n₂+ n₃+ ...+ n_k = n, то сред събираемите ще има поне една нула и P ще участва като множител в съответното произведение. Тогава в израза за A ще участват само първите n събираеми на y(n) . Оказва се че не всички. От

трябва да се изключат наборите (n₁, n₂, n₃, ..., n_k), съдържащи една или повече нули.
Тогава Полином 3 polynomial_3

където n_i са положителни числа.
Две различни събираеми в последната сума не могат да съдържат подобни многочлени Едночлен 2 monomial_2

Подобни едночлени от вида се появяват само в събираемото

,
като сумирането се извършва по наборите (n₁, n₂, n₃, ..., n_k), където

. Да разбием набора (n₁, n₂, n₃, ..., n_k) на s групи, като всички числа от една група са равни помежду си а две числа от различни групи са различни. Нека m_iе броят на числата в i-тата група.
m₁+m₂+m₃+ ...+ m_s = k.
Тогава произведението Едночлен 3 monomial_3

се записва като Едночлен 4 monomial_4

където

и n₁< n₂< n₃< ... < n_k .

Задачата се свежда до намирането на броя на едночлените с еднакви сигнатури. Техният брой ще означим с M_S . Коефициентите пред тях са равни на

Накрая, за да получим коефициента пред едночлена със сигнатура S във A трябва произведението на двете числа да разделим на k!.
Да формулираме задачата за намирането на M_S в комбинаторен вид.
Дадени са s групи от числа, като числата в една група са равни помежду си а всеки две числа от различи групи са различни. Броят на числата във групите са m₁ , m₂ , ..., m_s , като m₁ + m₂ + ... + m_s = k.
По колко различни начина тези, общо k числа могат да се подредят в редица?
Отговорът е ясен – Броят на пермутациите с повторения

Коефициентът пред едночлен с дадена сигнатура S е

Например, коефициентът пред

в развитието на y⁽⁵⁾ в A ще бъде

а коефициентът пред

в развитието на y⁽⁶⁾ -

n-тата производна на функцията y=eP(x)

n-тата производна на функцията y=e^P(x)