е ковариантният базис.
Да образуваме матрицата
Тази матрица се нарича метричен тензор от втори ранг от вид (0, 2), защото има
нула горни и два долни индекса.
Тя може да се изрази и така:
Тензорната природа на g ще покажем нататък.
Метричният тензор носи своето наименование от това, че е свъзан с локалната (местна ) метрика.
Дължината на един вектор се определя чрез нея така:
В скобите са разположени суми, според съглашението на Айнщайн.
Разкриваме скобите:
Аналогично се дефинира и скаларното произведение a.b.
Дефинира се и ъгъл между два вектора.
Всъщност метричните тензори са 3.
Този, който току-що дефинирахме се нарича ковариантен.
Контравариантния метричен тензор се дефинира с равенството
Контравариантен, понеже е само с горни индекси.
Двете матрици g и G са взаимнообратни.
Да дефинираме матрицата A, със стълбове – координатите на ri в един ортонормиран базис:
Тогава A/ .A=g.
Да дефинираме матрицата B, с редове – координатите на r i в един същия ортонормиран базис:
е ковариантният базис.
