---

Не трябва да се плашим!
Ако базисът е ортонормиран той съвпада със своя спрегнат   r ⁱ = r_i .
Тогава

Нека векторите a и b са представени чрез контравариантните си координати:
Използва се символиката на Айнщайн.
Тук тя се използва още по-здраво.
Тогава ковариантните координати на векторното произведение са:        
Например при k = 1 получаваме:

При i = 1 или j = 1 символите на Леви-Чивита необходимо са нули.

---

---

Нека координатите на ко-базисните вектори r_i в един ортонормран базис са
Да образуваме от тези стълбове една матрица и да я означим с R:                
Тогава: R^/ . R = ( g _ij ) = (r_i. r_j )
Но         g = det(g _ij) = det(R^/ . R) = det²(R) = ( r₁ r₂ r₃ )² .

---

---

Нека R е матрицата от предната задача а
е матрицата със стълбове - координатите на векторите на спрегнатия базис - R^/ . S = I , което доказва твърдението.

---

---

Италиански математик, прочут с работите си по тензорното смятане и приложенията му в теорията на относителността. Бил е ученик на Грегорио Ричи-Кубастро – откривателят на тензорното смятане.
Роден е в Падуа. Произхожда от еврейско семейство. Баща му е адвокат и депутат. Завършил е в родния си град и там е преподавал до 1918 г., когато е назначен в Рим. През 1900 г. , заедно с Ричи-Кубастро са публикували теорията на тензорите ( Методи на абсолютното диференциално смятане и неговите приложения ), използвана от Айнщайн в общата теорията на относителността.
Учебникът , заедно с многобройните си преиздавания, остава настолно ръководство по тензорно смятане досега. Публикациите на Леви-Чивита за гравитационното поле са били дискутирани с Айнщайн в тяхната кореспонденция.
През 1933г. Чивита е допринесъл за решаването на уравненията на Пол Дирак от квантовата механика.
През 1938г. расовият закон, приет от италианското фашистко правителство го изолира от научната общественост. Умира в апартамента си в Рим.
По късно, когато попитали Айнщайн какво италианско обича най-много, той казал: „Спагети и Леви-Чивита”

---