Ако четем - пишем. Ако не пишем - по-добре да не четем!
Какво трябва да знаем:         Преход от един базис към друг - матрица на прехода
Якобиан - преход от едни координати към други в равнината        
Сумационни означения на Айнщайн         Символ на Кронекер
Ковариантен и контравариантен базис         Дуален базис 		Към:
Векторен анализ
Тензорен анализ

Тензорите

са геометрични обекти с няколко горни и долни индекси, които се преобразуват при смяна на базиса по много трудно разбираем и специален начин.
Разглеждаме полилинейната функция линейна спрямо всеки от аргументите си.
В тях някои от аргементите се представят като линейни комбинации на ковариантиния базис, а други на контравариантния.
В първия случай координатите са контравариантни и във втория – „ко” такива.
Нека в нашия пример първия и третия аргумент са представени като линейна комбинация на „ко” базисните вектори и „контра” координати а втория - с „контра” базисните и „ко” координати.

Поради ленейността спрямо трите аргумента:          
Ще използваме сумационните означения на Айнщайн, за горните и долни индекси, както е направил той, за да не замъгляваме нещата.

Числата , от които определят изображението f ще означаваме с
Ако dim( V ) = 3 те са 27 на брой.
Наричат се тензор от трети ранг ( трета валентност ), защото индексите са 3 – един горен и два долни.
Затова този тензор е от вида (1,2)
Можем да разменим местата на първия и втория аргумент на f, за да попаднат горните индекси в началото.
Получената нова полилинейна функция също ще означаваме с f.
Полагаме       .
Сумата от броят на горните и долните индекси се нарича ранг (валентност ) на тензора.
Например: е тензор от ранг n = p + q с p контравариантни индекса и q ковариантни (долни ).
Казваме че е от вида (p, q)
Ако векторното просранство е с размерност 3 то при тензора индексите се променят от 1 до 3 и следователно
е съвкупност от 3n числа.

Тук е мястото да кажем, че ако една буква е снабдена с два индекса ако те са на едно ниво ( и двата са горни или и двата долни ), то при матрично представяне, първият индекс е номерът на реда а вторият на стълба.
Ако единият индекс е горен а другият долен, горният е номера на реда а долният на стълба.

Нека матрицата е матрица на прехода от базиса към базиса
Тук примовете показват просто „другостта” на базиса. Тези означения са приети и при „roncho.net”.
Обратната на P - матрицата е матрицата на прехода от спрегнатия базис на Ei –
към спрегнатия базис на - базиса        
В последното равенство използвахме, че е матрица на прехода от стария, ковариантен базис към новия от същия вид.
Нека е матрицата на прехода      
Трябва да докажем, че S = Q.
Да продължим с поредицата равенства, продължавайки да използваме смело Айнщайновите уговорки:
Сега да разместим множителите:
А сега да използваме правилото за делта заместване.
Това равенство показва, че:
,
което означава че P и S са взаимнообратни. Тогава S = Q.

Тогава можем да запишем равенствата:

Първото равенство е матрично умножение на ред по стълб. В последното равенство е използвано съглашението на Айнщайн.
Преобразуванието       се нарича ковариантно ( касаещо долните индекси ).
Последното равенство се нарича контравариантно преобразувание.

Почти винаги матриците P и Q се свързват с преобразуване на координатите.
Нека старите координати са а новите и
преобразуването от старите към новите става чрез системата

Тогава елементите на матрицата на прехода от стария , ковариантен базис, към новия , също такъв са: Да припомним, че с прим са означени новите координати.
Матрицата на прехода P е якобианът                 Нейната обратна е        
Това е матрицата на прехода от                 към        
Контравариантните координати на вектор се преобразуват по контравариантен начин а ковариантните – по ковариантен.
Да запишем вектора x като линейна комбинация на векторите от ковариантния стар и нов базис.
T_Extra1

Координатите в този запис са контравариантни – стари и нови.
Сега да извършим ковариантното преобразувание на старите базисни вектори
T_Extra2
и да заместим:
T_Extra3
От равенството
T_Extra4
следва, че
T_Extra5
Да умножим двете страни по обратната матрица на P – матрицата Q:
T_Extra6
С прим са означени новите, контравариантни координати.
Окончателно:
T_Extra7
Аналогично се показва, че за ковариантнните координати е изпълнено:
T_Extra8


Какво ще научим:
Матрицата III - революция
Метричен тензор - дефиниция