Двойно векторно произведение

Какво трябва да знаем:
Скаларно произведение
Векторно произведение

Съдържание на висша математика I част
Векторен анализ

Двойно векторно произведение

Ако умножаваш двойно ти подред,
множителя втори, пиши го най- отпред.

Векторът a x b е перпендикулярен на a и на b.
Ако умножим a x b с трети вектор c , то (a x b) x c ще бъде перпендикулярен на a x b и следователно ще бъде компланарен на a и b.

Съществуват числа a и b , такива, че
(a x b) x c = aa + bb.
Ще докажем формулата:

(a x b) x c = (ac)b - (bc) a

( Виж мотото!)

Да умножим равенството
(a x b) x c = aa + bb. скаларано по c.
Получаваме :

Тогава:

Трябва да покажем, че:

Ще изберем друг път.
Избираме първият вектор от репера – i , колинеарен на a ,
вторият - j – перпендикулярен на i в равнината определа от a и b ,
а третият - k е колинеарен на a x b.

От друга страна :

Тогава:

- същите координати както и на (a x b) x c.

Ето я отново чудната формула:

(a x b) x c = (ac)b - (bc) a

Ако приемем вектора b за среден , тя може да се изкаже така :
Средният вектор се умножава по скаларното произведение на крайните и се изважда другия вектор в скобите , умножен по скаларното произведение на останалите два.
Да видим дали мнемоничното (за запомняне ) правило е в сила при a x (b x c) .

Да. Така е.

Интересно е , че векторното произведение не е асоциативно.
Т.е. (a x b) x c не е равно на a x (b x c).
Да видим условието при което (a x b) x c = a x (b x c).

Векторите a и c трябва да са колинеарни.
Това условие е и достатъчно.

Ето още едно чудно тъждество:
a x (b x c) + b x (c x a) + c x (a x b) = 0
Следващото събираемо се получава от предходното , чрез прехвърляне на първия множител най отзад.

Ясно е, че векторите отдясно се съкращават.

Решете уравнението x x a = b, където b е перпендикулярен на a.

Решение:
Да умножим x x a = b отдясно векторно с a.

Скаларното произведение x.a може да бъде произволно.
Означаваме го с t.
За векторите x_i с втори край върху правата a векторните произведения a x x_i ще бъдат едни и същи.