Последователни преходи при локални координатни системи
1. За означенията
Декартовия базис
(i, j) = (e1 , e2 ) ще означаваме с
E.
Базисните вектори ще означаваме с ei като
понякога използваме прим и секонд.
Ei' = (e1' , e2' ) - друг базис.
Ei'' = (e1'' , e2'' ) - трети базис
Предполагаме, че
Ei , Ei' , Ei'' са ортогонални но не и
нормирани базиси, т.е. базисните вектори не са непременно единични.
Координатите на вектор ще означаваме като вектор стълбове с елементи, снабдени с горни индекси:
Означението X(a, E) разбира така:
” Векторът a има координати в базиса
E елементите на вектора стълб Xi ”.
2. Преминаване към нова координатна система или преговор от една нова гледна точка
Нека
са старите координати в базиса
Ei = E = (i, j) а
са новите координати в базиса
Ei' .
Докато старият базис
Ei = E = (i, j) е постоянен, то новият -
Ei' е
различен във всяка точка от пространството.
Той зависи от координатите.
Формулите на прехода от старите координати
X i към новите
X i' са
Матрицата на прехода от базиса
Ei в
Ei'' е якобианът:
( Старите координати са отгоре а новите - отдолу. )
Което означава, че :
Това равенство показва, че j - тият стълб на якобиана
се състои от
координатите на j – тия вектор на новия базис
Ei' спрямо стария
Ei .
Детерминантата на матрицата на прехода
трябва да е различна от 0.
Ако знакът и' е положителен, двете системи са
еднакво ориентирани а ако е отрицателен – противоположно.
Ако един вектор a има координати
в стария базис
Ei то неговите координати в новия базис
Ei′ се получават чрез равенството:
Тук
е обратната матрица на якобиана
Извесно е , че
(Използван е символът на Кронекер)
3 . Преминаване от декартова към полярна координатна система или отново преговор от една нова гледна точка
Базисът
Ei′ = (r, φ )
е локален – зависи от точката A.
Преходът от полярни в декартови координати се осъществява с формулите:
Тук (x,y) са старите координати а (r,φ) – новите.
Първият стълб на тази матрица са координатите на първия базисен вектор - r в базиса
E = (i, j).
Той е с дължина единица.
Вторият стълб са координатите на другия базисен вектор- φ.
Векторът φ е с дължина r.
Двата вектора са взаимно перпендикулярни, защото скаларното им произведение е 0.
Матрицата
е
Ще я намерим, като изразим (r,φ) от системата
Решението й е :
Матрицата
може да се намери и като обратна на
Двете матрици са равни.
За да се убедим в това е достатъчно да заместим rcosφ с x и rsinφ с y.
Елементите на първия стълб на
са координатите на вектора i в базиса
Ei′
а на втория - на j .
4 . Преобразуване на координатите на вектор при прехода от декартова към полярна координатна система
Използвайки матрицата на прехода J от базиса
E = (i, j) в базиса
Ei′ преходът при координатите на един вектор a се извършва по формулите :
X i′ = J-1.X i
, където
са координатите на вектора a в базиса
Ei′
(новия базис) а
– на същия вектор в стария базис -
Ei .
Какви са координатите на вектора i + j в базиса ( r, φ )
Координатите на i + j в базиса ( r, φ) зависят от точка А.
Ако тя лежи на ъглополовящата на първи квадрант ( x = y ) , то координатите на i + j са константи
5 . Хиперболична координатна система
Да разгледаме трансформациите
Координатните линии са хиперболи, поради което сме я назовали така.
Якобианът е
Търсената матрица ще намерим като обратна на
Тогава:
Координатните вектори (u, v) на новия базис имат еднаква дължина, независимо от положението на точка A и са взаимно перпендикулярни.
С отдалечаване на A от началото на координатната система дължините им, оставяйки равни намаляват.
Това е така, защото елементите на стълбовете на
са координатите на новите базисни вектори - (u, v) в базиса ( i, j)
Ще намерим координатите на вектора i + j в базиса (u, v) при x = y.
Ще намерим координатите на вектора i в базиса (u, v) независимо от положението на точката A.
6 . Преминаване от полярна към хиперболична координатна система и естествено – обратно
Нека Ei' е полярна координатна система а
Ei'' - хиперболична.
Каква е матрицата на прехода от първата към втората?
( И двете координатни системи зависят от положението на точката A. )
Нека Ei' =E = (i, j)
Ситуацията може да се изрази така:
Преходът от
Ei' към Ei''
се осъществява чрез матрицата
Прилагайки по-естествените означения (x,y), (r,φ) и (u,v) получаваме:
Двете матрици вече са намерени. Погледнете ги в записките.
Но ще ги преизчислим използвайки „ (x,y,r) терминологията”.
Умножавайки двете матрици получаваме:
Матрицат а на прехода от полярна в параболична координатна система е
Вектор има координати (1, 0) в полярната координатна система в точката
.
Неговите координати в полярната са (0, 1). Защо?
Матрицата на прехода Т, както и нейната обратна, зависи от положението на точката А.
Да намерим T-1 :
са старите координати в базиса
Ei = E = (i, j) а
са новите координати в базиса
Ei' .
се състои от
трябва да е различна от 0.
е обратната матрица на якобиана
е
са координатите на вектора i в базиса
Ei′
а на втория - на j .
са координатите на вектора a в базиса
Ei′
(новия базис) а
– на същия вектор в стария базис -
Ei .
са координатите на новите базисни вектори - (u, v) в базиса ( i, j)
.
