Какво трябва да знаем:         Преход от полярна координатна система в декартова и обратно
Якобиан - преход от едни координати към други в равнината
Производна на сложна функция на повече променливи        
Последователни преходи при локални координатни системи         Елементарна дължина
Векторна функция и нейните производни         Повърхнини – уравнения и графики
Градиент и производна по направление         Якобиани и действия с тях 		Към:
Висша математика II част
Диференциална геометрия
Векторен анализ

Коефициенти на Ламе

По-дългият – оттук изглежда къс.
Най-умният – глупее със глупака.
Добрякът, случва се мечтае мъст.
Коефициентите са мярка на нещата.

Написал – Неизвестен

Нека (x1 , x2 , x3 ) са старите координати а (u1 , u2 , u3 ) са новите.
Старият базис е декартовият Е = (i, j, k) а новият е локален и е различен във всяка точка от пространството Нов базис _bas2
Така е при полярните координати.
Преходът от старите към новите се осъщетвява с формулите: Sysx_u
Draw1

За да определим u1 - линията в дадена точка A U1 трябва да фиксираме координатите U2 и да оставим да се променя само u1 .
Тогава u1 - линията е с уравнение Sysx_u_1 . Ще я означим със s1 .
Базисният вектор e1 , свързан с тази линия има в стария базис E координати _e1
Неговата дължина е Lame1 Тук се използва ортонормираността на базиса E.
Тази величина се появява и при изчисляването на елементарната дължина на кривата s1 .
Lame2

Нарича се коефициент на Ламе и се означава с L1 .
Подобно се дефинират Li i=1...3 .
Коефициентите на Ламе са дължините на вектор-стълбовете на якобиана
Якобиан Jcobian1
В точката A координатната повърхнина S1 , която се получава при променливи
( u2 , u3 ) и фиксирано u1 = u10 има двупараметрично уравнение: Sysx_u_2
Тя е перпендикулярна на u1 – линията, защото предполагаме, че новият базис _bas2 е ортогонален във всяка точка A от пространството.
Координатна повърхнина Draw2

Градиентът на функцията u1 = u1 (x1 , x2 , x3 ) в точка А е вектор, колинеарен на допирателния вектор на u1 – линията и е с дължина _1divL1 .
Да разгледаме първите две уравнения като система с неизвестни u2 и u3 и да я решим: Sysx_u_3_0
После да заместим величините u2 и u3 от първите две равенства в третото и да изразим от него U3
Преход от параметрично към неявно задаване на повърхнина Sysx_u_3
Тук u1 е функция.
Градиент Grad1
Градиентът на u1 = u1 (x1 , x2 , x3 ) в точка A е перпендикулярен на повърхнината S1 .
Понеже координатната система _bas2 е ортогонална, той ще бъде успореден на на допирателния вектор на u1 – линията- базисният вектор e1 .
Да не забравяме, че _e1
От друга страна, от формулите за производна на сложна функция на повече променливи имаме равенството:
Производна на сложна функция на повече променливи PartDer
Това равенство показва, че скаларното произведение на двата колинеарни вектори е 1.
Следователно техните дължини са реципрочни.

Портретът е заимстван от http://en.wikipedia.org/wiki/Gabriel_Lam%C3%A9

Gabriel Lame
Габриел Ламе
1795-1870

Френски математик и механик, член на Парижката академия на науките и член-кореспондент на Петербургската академия на науките.
Работил е в областите на математиката, математическата физика, геометрията, алгебрата и теорията на еластичността.
Доказал е нерешимостта на уравнението x 7 + y 7 = z 7 в естествени числа.
На негово име е назован Лунен кратер.
То е едно от 72-те имена на велики френски учени, записани на Айфеловата кула.

Какво ще научим:
Коефициенти на Ламе за полярна, сферична и цилиндрична координатна система
Изразяване на градиента в произволна криволинейна координатна система чрез коефициентите на Ламе