Какво трябва да знаем:       Якобиан - преход от едни координати към други в равнината
Полярна координатна система- дефиниция       Теоремата на Лаплас за развитие на детерминанта      
Преход от един базис към друг - матрица на прехода       Преход от декартови в полярни координати       		Векторен анализ
Висша математика II част

Сферични координати - якобиан

Определяне на сферичните координати Drow1
В пространството е определена декартова координатна система Oxyz.     Нека A е точка с координати (x,y,z).
Означаваме разстоянието OA с ρ.
Да проектираме точка A върху равнината Oxy и да означим тази проекция с Axy и след това върху оста Oz и да означим проекцията с A z .
От правоъгълния триъгълник OAA z получаваме, че AzA = ρsinψ .
В равнината Oxy точката Axy има полярни координати (|OAxy|, φ).
Числата (ρ, ψ, φ) взети в този ред определят положението на точка A и се наричат сферични координати. Произнасят се ” ро”, ”пси” и ”фи”.
ρ = |OA|   ρ ≥ 0.         ψ е ъгълът между оста Oz и радиус-вектора OA.         0 ≤ ψ ≤π
φ е ъгълът между оста Ox и проекцията на радиус-вектора OA върху равнината Oxy.         0 ≤ φ ≤ 2π
Декартовите координати на (x,y,z) се изразяват чрез сферичните (ρ, ψ, φ) със следните формули:
|OA xy|=| AzA|=ρsinψ
z = |OAz|=ρcosψ
x = |O Axy|.cosφ=ρsinψcosφ
y = |O Axy|.sinφ=ρsinψ sin φ
Така получаваме, че:


Изразяване на старите координати чрез новите Xyz1
Обратните преобразования се задават с:
Преход от старите координати към новите Rophsiphi1
Якобианът на прехода от старите координати (x,y,z) към новите (ρ, ψ , φ) е
Частните производни ще отбелязваме с долен индекс
Частна производна PartDer1
Векторни частни производни PartDer2
Записваме получените вектор-редове като вектор-стълбове.
Якобиан Jacobian1
Детерминантата на якобиана J е равна на ρ2sinψ .
Изнасяме ρ от втория и третия стълб и развиваме по третия ред използвайки Теоремата на Лаплас - I част.
Детерминанта на якобиана Jacobian2

Получените базисни вектори ρ , ψ , φ на новия базис не са нормирани.
Нормираме ги, при което се получават единични вектори
Нормирането се получава като се раздели векторът на неговата дължина.
Нов базис Basis1 Репер, зависещ от положението Drow2
Този базис зависи от положението на точката А и затова се нарича локален (зависещ от мястото: Тук е един, там е друг. ) .
Векторът ρ0 е насочен по лъча ОА.
Другият базисен вектор е допирателен по линията на „мердиана” , преминаващ през А.
Третият вектор е доперателен към окръжността на „паралела” и не е изобразен на чертежа.
Понеже са взаимно перпендикулярни и нормирани новият базис е ортонормиран, като и базиса на декартовата координатна система ( i, j, k ), но за разлика от него не е постоянен а зависи от положението на точката A.

Какво ще научим:        
Преход от декартови в сферични координати при тройните интеграли - пояснения
Преход от декартови в сферични координати при тройните интеграли - задачи