Криволинеен интеграл от I род (по дъга)
Ефирна нишка се извива и крепи голяма тежест,
Разпределена правилно по нея.
Ако формата със съдържанието свържеш ,
Нишката в кълбо ще се превърне.
Написал - Неизвестен
Механичен смисъл
Нека в равнината е зададена една непрекъсната и ректифицируема крива
( това означава че кривата има дължина).
В точките по кривата има разположени елементарни маси с линейна плътност ρ(M),
където M е точка от кривата.
Линейната плътност се дефинира с:
е дъга от кривата C, съдържаща точка M, а
са нейната дължина и маса, съответно.
Желаем да определим масата m на кривата C.
За целта разделяме кривата
чрез междинни точки A1 = A, A2 , A3 ,… , An+1 =B
лежащи на кривата в посока от A към B на n части.
Означаваме със
дължината на отделните части.
Нека
е тяхната максимална дължина.
Във всяка от тези части избираме по една точка
.
Предполагаме, че плътността на всички точки по дъгата
е една и съща и е равна на ρ(Mi).
Неточността предизвикана от това предположение намалява при намаляване на дължината
σi =|AiAi+1^ |.
Тогава масата на дъгата
AiAi+1^
е приблизително равна на ρ (Mi ).σ i.
Събирайки тези елементарни маси получаваме приблизителното равенство:
Неточността на това приближение намалява при
,
което може да се постигне чрез увеличаване на точките на деление,
запазвайки тяхното равномерно разпределение.
Извършвайки граничен преход при λ → 0 получаваме, че:
Аналитично определение
Нека f(x,y) е функция, зададена във всяка точка M(x,y) от непрекъснатата и
ректифирицируима (имаща определена дължина във всеки свой участък)
крива C, крайни точки A и B.
f(M)=f(x,y) за M∈ C
Да разделим C = AB^ с точки по нея:
A1 = A, A2 , A3 ,… , An+1 =B,
в посока от A към B на
дъги AiAi+1^ с дължини σ i =
|AiAi+1^| и с максимална
дължина λ = max{ σ i }.
Нека Mi ∈ AiAi+1^
е произволна точка от дъгата AiAi+1^.
Ако съществува границата
то тя се нарича криволинеен интеграл от I род (по дъга) на функцията f(x,y) по
кривата C и се означава с
От самата дефиниция се вижда, че посоката на обхождане на кривата C не играе никаква роля.
Свеждане към определен интеграл
Нека C e крива зададена с параметрично уравнение x=x(t) ; y=y(t) ;
t1 ≤ t ≤ t2 .
Тогава:
което е интегрална сума:
Така получаваме, че при параметрично задаване на кривата C
C: x=x(t) ; y=y(t) ; t1 ≤ t ≤ t2
В частен случай, при y=y(x) ; a ≤ x ≤ b може да се приеме , че x=t и
формулата придобива вида:
Ако кривата C е зададена с уравнение в полярни координати
C: ρ = ρ(φ) φ1 ≤ φ ≤ φ2
то:
Свойства
I. Ако C е точка от кривата AB^ , то
II. Ако f(x,y) е непрекъсната по дъгата AB^ то съществува точка
M(ξ , η) от тази крива, такава, че :
Пример 1
Да разгледаме хоризонталната отсечка l: y = 1 при x променящо се от 0 до 1 .
Да предположим, че линейната и плътност ρ зависи само от x и е равна на x.
Да изчислим масата на отсечката.
Правим чертеж:
В точката A линейната плътност ще бъде 0 а в B 1.
Така че ρ(x,y) = x.
Изчисляваме ds , знаейки уравнението на линията.
l: y = 1
Пример 2
Да разгледаме наклонената отсечката l: y = x при x променящо се от 0 до 1 .
Да предположим, че линейната и плътност ρ зависи само от x и е равна на x.
Да изчислим нейната маса.
Правим чертеж:
В точката A линейната плътност ще бъде 0 а в B 1.
Така че ρ(x,y) = x.
Изчисляваме ds , знаейки уравнението на линията l: y = x
Пример 3
Да разгледаме параболата с уравнение l: y = x2 при x променящо се от 0 до 1 .
Да предположим, че линейната и плътност ρ зависи само от x и е равна на x.
Да изчислим нейната маса.
Правим чертеж:
В точката A линейната плътност ще бъде 0 а в B 1.
Така че ρ(x,y) = x.
Изчисляваме ds , знаейки уравнението на линията l: y = x2
Внасяме x под знака на деференциала и получаваме табличен интеграл.
Това е една по-добра илюстрация към примера.
