Криволинеен интеграл от II род (по координати)
Вървя по пътя.
Вятър брули тялото
немощно.
Силата във работа
превръщам,
Ставам – живи мощи.
Написал и оформил - Неизвестен
Механичен смисъл
Нека на всяка точка M(x,y) от равнината Oxy, на единична маса действа сила
F → с координати ( X(x,y), Y(x,y) ).
Тогава се казва, че в равнината Oxy е дефинирано векторно поле.
Нека C = AB^ е крива от тази равнина.
Желаем да намерим работата извършвана от векторното поле при
преместване на единична маса от A до B при движението и по кривата C.
Да припомним, че
Т.е. работата е скаларното произведение на вектора на силата по вектора на преместването.
Ако F → = (X,Y) и
Δr = Δ s → =
(Δx, Δy) то:
A = F → . Δ s → =
X.Δx+Y.Δy.
Да разделим кривата C с точки по нея:
в посока от A към B на дъги AiAi+1^ с
дължини σi =|AiAi+1^| и с максимална дължина
λ = max{ σi }.
Нека Mi∈ AiAi+1^
е произволна точка от дъгата AiAi+1^ .
Означаваме с Δsi→
векторите AiAi+1→ при i = 1…n.
Да разгледаме един интервал от това деление.
Предполагаме, че преместването се извършва не по дъгата
AiAi+1→ а по вектора
Δsi→ =
AiAi+1→
с координати (Δxi , Δyi ) и че във всички
точки от това преместване, на единична маса действа една и съща сила
Fi→.
Тогава:
Събирайки тези елементарни работи получаваме приблизителното равенство:
Неточността на това приближение намалява при λ→0 , което може да се постигне
чрез увеличаване на точките на деление запазвайки тяхното равномерно разпределение.
Извършвайки граничен преход при λ→0 получаваме:
Аналитично определение
Нека C = AB^ е една непрекъсната крива в равнината (x,y),
в точките на която са зададени вектори,
F→ (M)= F→ (x,y),
където M(x,y) ∈C = AB^.
Нека освен това векторът F→ (x,y) има координати (X, Y),
всяка от тях зависеща от x и y: (X(x, y), Y(x, y)).
Нека A1 = A, A2 , A3 ,… , An+1 =B са
точки от C = AB^ в посока от A към B и
векторът AiAi+1→ има координати
(Δxi , Δyi ) .
Ако съществува границата
то тя се нарича криволинеен интеграл от II род (по координати) и се означава с:
Обикновено в Българската литература, вместо (X, Y),
като координати на векторното поле се използват (P, Q). Така че:
От самата дефиниция се вижда, че посоката на обхождане на кривата C има съществено значение.
Векторно означаване на криволинейния интеграл
Ако векторното поле F→ (x,y) има координати ( P(x, y), Q(x, y) )
а векторът на преместването е
dr→ и както знаем, dr→ = (dx , dy),
то криволинейният интеграл по кривата С се записва така:
Това означение се прилага широко във физиката.
Ако кривата C е затворена то интегралът се записва с кръгче, ето така:
Свеждане към определен интеграл
Нека C e крива зададена с параметрично уравнение x=x(t) ; y=y(t) ;
t1 ≤ t ≤ t2 ,
където двете функции са с непрекъснати производни .
Тогава dx = x’(t).dt и dy = y’(t).dt.
В частен случай, при y = y(x) ; a ≤ x ≤ b може да се приеме , че x = t и
формулата придобива вида:
Ако кривата C е зададена с уравнение в полярни координати r = r(φ), където
φ1 ≤ φ ≤ φ2 , тогава:
Свойства на криволинейния интеграл от II род (по координати)
I. 
Редът има значение!
II.
Ако C е точка от кривата AB^ , то
Пример
В равнината Oxy е зададено векторното поле, като на всяка точка от равнината (x,y) е
съпоставен вектор F (x, y).
Намерете работата на векторното поле при движение на единична маса
от началото на координатната система до точката C(1,1) по четири различни криви:
а) параболата с уравнине y = x2
б) параболата с уравнине 
в) начупената линия по точките O(0, 0) → A(1, 0) → C(1, 1)
г) начупената линия по точките O(0, 0) → B(0, 1) → C(1, 1)
Да запачнем:
а)
В нашия случай P = x, Q = y .
Получаваме:
Понеже кривата C има уравнение y = x2 , след заместване получаваме:
dy = dx2 = 2x.dx, така че:
Изключително важно е да илюстрираме ситуациите в които попадаме със схеми и
да изработим план за действие.
Без план човекът или организацията попадат в ситуация, планирана от други.
Чертежът по-долу е направен с програма.
Важно е да се забележи, че при векторното поле има симетрия по отношение на правата y = x
Интуитивно усещаме, че работата на полето по кривата
ще бъде същата.
Да видим дали е така:
б)
в) по отсечката OA x се променя от 0 до 1 а y е константа, равна на 1.
Тогава dy = 0 и
По отсечката AC x=1 и dx = 0
Общо получаваме отново 1.
Поради видимата симетрия и при г) ще е толкова.
Нека,въобще C е крива, свързваща точките O и C.
Тогава както x така и y се променят от 0 до 1.
Какво ще научим:
Нeзависимост на криволинейния интеграл от пътя на интегриране